Номер 22.16, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.16. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 - 10}{x} \ge 3;$

2) $\frac{x^2 + x}{x - 2} \ge \frac{6}{x - 2};$

3) $\frac{x^2 - 3x - 4}{2x^2 - x - 3} \le 0.$

1) $\frac{x^2 - 10}{x} \ge 3$

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{x^2 - 10}{x} - 3 \ge 0$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - 10 - 3x}{x} \ge 0$

$\frac{x^2 - 3x - 10}{x} \ge 0$

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя находятся из уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -2$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Отметим эти точки на числовой оси. Точки $x=5$ и $x=-2$ являются решениями, так как неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому мы отмечаем их закрашенными. Точка $x=0$ не входит в область допустимых значений, так как на ноль делить нельзя, поэтому отмечаем ее выколотой (пустой).

Определим знак выражения $\frac{x^2 - 3x - 10}{x}$ на каждом из полученных интервалов: $(-\infty; -2]$, $[-2; 0)$, $(0; 5]$, $[5; +\infty)$.

– При $x \in (5; +\infty)$ (например, $x=6$): $\frac{6^2 - 3 \cdot 6 - 10}{6} = \frac{36 - 18 - 10}{6} = \frac{8}{6} > 0$. Знак "+".

– При $x \in (0; 5)$ (например, $x=1$): $\frac{1^2 - 3 \cdot 1 - 10}{1} = \frac{1 - 3 - 10}{1} = -12 < 0$. Знак "-".

– При $x \in (-2; 0)$ (например, $x=-1$): $\frac{(-1)^2 - 3(-1) - 10}{-1} = \frac{1 + 3 - 10}{-1} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Знак "+".

– При $x \in (-\infty; -2)$ (например, $x=-3$): $\frac{(-3)^2 - 3(-3) - 10}{-3} = \frac{9 + 9 - 10}{-3} = \frac{8}{-3} < 0$. Знак "-".

Нас интересуют интервалы, где значение выражения больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in [-2; 0) \cup [5; +\infty)$.

2) $\frac{x^2 + x}{x - 2} \ge \frac{6}{x - 2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{x^2 + x}{x - 2} - \frac{6}{x - 2} \ge 0$

Так как знаменатели одинаковы, получаем:

$\frac{x^2 + x - 6}{x - 2} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Тогда неравенство можно переписать в виде:

$\frac{(x+3)(x-2)}{x - 2} \ge 0$

Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 2$, то выражение $(x-2)$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь.

Получаем более простое неравенство:

$x + 3 \ge 0$

$x \ge -3$

Теперь объединим это решение с ОДЗ ($x \neq 2$). Получаем, что $x$ должен быть больше или равен $-3$, но не равен $2$.

Ответ: $x \in [-3; 2) \cup (2; +\infty)$.

3) $\frac{x^2 - 3x - 4}{2x^2 - x - 3} \le 0$

Для решения методом интервалов разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$. Следовательно, $x^2 - 3x - 4 = (x-4)(x+1)$.

Знаменатель: $2x^2 - x - 3 = 0$. Найдем корни через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$. Корни $x_3 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ и $x_4 = \frac{1 - 5}{4} = -1$. Следовательно, $2x^2 - x - 3 = 2(x - \frac{3}{2})(x+1) = (2x-3)(x+1)$.

Подставим разложения в исходное неравенство:

$\frac{(x-4)(x+1)}{(2x-3)(x+1)} \le 0$

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, то есть $(2x-3)(x+1) \neq 0$, откуда $x \neq \frac{3}{2}$ и $x \neq -1$.

Так как $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на множитель $(x+1)$:

$\frac{x-4}{2x-3} \le 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Критические точки: $x=4$ (из числителя) и $x=\frac{3}{2}$ (из знаменателя).

Точку $x=4$ включаем в решение (неравенство нестрогое), а точку $x=\frac{3}{2}$ исключаем (нуль знаменателя).

Определим знаки выражения $\frac{x-4}{2x-3}$ на интервалах $(-\infty; \frac{3}{2})$, $(\frac{3}{2}; 4]$ и $[4; +\infty)$.

– При $x \in (4; +\infty)$ (например, $x=5$): $\frac{5-4}{2\cdot5-3} = \frac{1}{7} > 0$. Знак "+".

– При $x \in (\frac{3}{2}; 4)$ (например, $x=2$): $\frac{2-4}{2\cdot2-3} = \frac{-2}{1} < 0$. Знак "-".

– При $x \in (-\infty; \frac{3}{2})$ (например, $x=0$): $\frac{0-4}{2\cdot0-3} = \frac{-4}{-3} > 0$. Знак "+".

Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком "-".

Решение: $x \in (\frac{3}{2}; 4]$. Условие ОДЗ $x \neq -1$ выполнено, так как точка $-1$ не входит в этот промежуток.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}; 4]$.