Номер 22.12, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.12. Вычислите:

1) $tg10^\circ tg20^\circ tg30^\circ \cdot \dots \cdot tg70^\circ tg80^\circ;$

2) $ctg15^\circ + ctg30^\circ + ctg45^\circ + \dots + ctg165^\circ.$

1) Вычислим значение выражения $ \text{tg}10^\circ \cdot \text{tg}20^\circ \cdot \text{tg}30^\circ \cdot \ldots \cdot \text{tg}70^\circ \cdot \text{tg}80^\circ $.

Запишем произведение полностью:

$ \text{tg}10^\circ \cdot \text{tg}20^\circ \cdot \text{tg}30^\circ \cdot \text{tg}40^\circ \cdot \text{tg}50^\circ \cdot \text{tg}60^\circ \cdot \text{tg}70^\circ \cdot \text{tg}80^\circ $

Воспользуемся формулой приведения $ \text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}\alpha $ и основным тригонометрическим тождеством $ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $.

Сгруппируем множители в пары так, чтобы сумма углов в каждой паре была равна $90^\circ$:

$ (\text{tg}10^\circ \cdot \text{tg}80^\circ) \cdot (\text{tg}20^\circ \cdot \text{tg}70^\circ) \cdot (\text{tg}30^\circ \cdot \text{tg}60^\circ) \cdot (\text{tg}40^\circ \cdot \text{tg}50^\circ) $

Теперь преобразуем каждую пару:

• $ \text{tg}10^\circ \cdot \text{tg}80^\circ = \text{tg}10^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 10^\circ) = \text{tg}10^\circ \cdot \text{ctg}10^\circ = 1 $
• $ \text{tg}20^\circ \cdot \text{tg}70^\circ = \text{tg}20^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 20^\circ) = \text{tg}20^\circ \cdot \text{ctg}20^\circ = 1 $
• $ \text{tg}30^\circ \cdot \text{tg}60^\circ = \text{tg}30^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 30^\circ) = \text{tg}30^\circ \cdot \text{ctg}30^\circ = 1 $
• $ \text{tg}40^\circ \cdot \text{tg}50^\circ = \text{tg}40^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 40^\circ) = \text{tg}40^\circ \cdot \text{ctg}40^\circ = 1 $

Подставим полученные значения обратно в произведение:

$ 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $

Ответ: 1

2) Вычислим значение выражения $ \text{ctg}15^\circ + \text{ctg}30^\circ + \text{ctg}45^\circ + \ldots + \text{ctg}165^\circ $.

Данное выражение представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, где углы изменяются от $15^\circ$ до $165^\circ$ с шагом $15^\circ$. Запишем все слагаемые:

$ \text{ctg}15^\circ + \text{ctg}30^\circ + \text{ctg}45^\circ + \text{ctg}60^\circ + \text{ctg}75^\circ + \text{ctg}90^\circ + \text{ctg}105^\circ + \text{ctg}120^\circ + \text{ctg}135^\circ + \text{ctg}150^\circ + \text{ctg}165^\circ $

Воспользуемся формулой приведения $ \text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}\alpha $.

Сгруппируем слагаемые в пары так, чтобы сумма углов в каждой паре была равна $180^\circ$:

$ (\text{ctg}15^\circ + \text{ctg}165^\circ) + (\text{ctg}30^\circ + \text{ctg}150^\circ) + (\text{ctg}45^\circ + \text{ctg}135^\circ) + (\text{ctg}60^\circ + \text{ctg}120^\circ) + (\text{ctg}75^\circ + \text{ctg}105^\circ) + \text{ctg}90^\circ $

Теперь вычислим значение каждой пары:

• $ \text{ctg}15^\circ + \text{ctg}165^\circ = \text{ctg}15^\circ + \text{ctg}(180^\circ - 15^\circ) = \text{ctg}15^\circ - \text{ctg}15^\circ = 0 $
• $ \text{ctg}30^\circ + \text{ctg}150^\circ = \text{ctg}30^\circ + \text{ctg}(180^\circ - 30^\circ) = \text{ctg}30^\circ - \text{ctg}30^\circ = 0 $
• $ \text{ctg}45^\circ + \text{ctg}135^\circ = \text{ctg}45^\circ + \text{ctg}(180^\circ - 45^\circ) = \text{ctg}45^\circ - \text{ctg}45^\circ = 0 $
• $ \text{ctg}60^\circ + \text{ctg}120^\circ = \text{ctg}60^\circ + \text{ctg}(180^\circ - 60^\circ) = \text{ctg}60^\circ - \text{ctg}60^\circ = 0 $
• $ \text{ctg}75^\circ + \text{ctg}105^\circ = \text{ctg}75^\circ + \text{ctg}(180^\circ - 75^\circ) = \text{ctg}75^\circ - \text{ctg}75^\circ = 0 $

Оставшийся член суммы — $ \text{ctg}90^\circ $. Его значение: $ \text{ctg}90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0 $.

Таким образом, вся сумма равна:

$ 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 $

Ответ: 0