Номер 22.6, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.6. Вычислите:

1) $\operatorname{tg} 210^{\circ}$;

2) $\operatorname{ctg} 315^{\circ}$;

3) $\cos (-150^{\circ})$;

4) $\sin \left(-\frac{5\pi}{3}\right)$.

1) Для вычисления $tg(210^\circ)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $210^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$), где тангенс имеет положительный знак. Представим угол $210^\circ$ в виде суммы $180^\circ + 30^\circ$.
Согласно формуле приведения $tg(180^\circ + \alpha) = tg(\alpha)$, получаем:
$tg(210^\circ) = tg(180^\circ + 30^\circ) = tg(30^\circ)$.
Значение тангенса $30^\circ$ является табличным значением: $tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Для вычисления $ctg(315^\circ)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $315^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$), где котангенс имеет отрицательный знак. Представим угол $315^\circ$ в виде разности $360^\circ - 45^\circ$.
Согласно формуле приведения $ctg(360^\circ - \alpha) = -ctg(\alpha)$, получаем:
$ctg(315^\circ) = ctg(360^\circ - 45^\circ) = -ctg(45^\circ)$.
Значение котангенса $45^\circ$ является табличным значением: $ctg(45^\circ) = 1$.
Следовательно, $ctg(315^\circ) = -1$.
Ответ: $-1$.

3) Для вычисления $cos(-150^\circ)$ используем свойство четности функции косинус. Функция косинус является четной, что означает $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$ для любого угла $\alpha$.
$cos(-150^\circ) = cos(150^\circ)$.
Теперь для $cos(150^\circ)$ применим формулу приведения. Угол $150^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$), где косинус отрицателен. Представим $150^\circ$ как разность $180^\circ - 30^\circ$.
Согласно формуле приведения $cos(180^\circ - \alpha) = -cos(\alpha)$, получаем:
$cos(150^\circ) = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos(30^\circ)$.
Значение косинуса $30^\circ$ является табличным значением: $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $cos(-150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Для вычисления $sin(-\frac{5\pi}{3})$ используем свойство нечетности функции синус. Функция синус является нечетной, что означает $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$ для любого угла $\alpha$.
$sin(-\frac{5\pi}{3}) = -sin(\frac{5\pi}{3})$.
Теперь упростим выражение $sin(\frac{5\pi}{3})$, используя периодичность тригонометрических функций. Представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как $2\pi - \frac{\pi}{3}$.
Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен.
Согласно формуле приведения $sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$, получаем:
$sin(\frac{5\pi}{3}) = sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3})$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$sin(-\frac{5\pi}{3}) = -sin(\frac{5\pi}{3}) = -(-sin(\frac{\pi}{3})) = sin(\frac{\pi}{3})$.
Значение синуса $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует $60^\circ$) является табличным: $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.