Номер 22.1, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.1. Упростите выражение:

1) $\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$;

2) $\operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$;

3) $\sin(\pi - \alpha)$;

4) $\cos(-\alpha + 270^\circ)$;

5) $\cos(\alpha - 180^\circ)$;

6) $\cos^2(3\pi - \alpha)$;

7) $\operatorname{ctg}^2(90^\circ + \alpha)$;

8) $\cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$;

9) $\sin \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$.

1) $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $

Для упрощения используем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \frac{\pi}{2} $, функция $ \sin $ меняется на кофункцию, то есть на $ \cos $.
2. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ (если считать $ \alpha $ острым углом) находится в I четверти, где синус положителен.
Следовательно, $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $.
Ответ: $ \cos(\alpha) $

2) $ \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $

Применяем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \frac{3\pi}{2} $, функция $ \operatorname{tg} $ меняется на кофункцию, то есть на $ \operatorname{ctg} $.
2. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где тангенс положителен.
Следовательно, $ \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha) $.
Ответ: $ \operatorname{ctg}(\alpha) $

3) $ \sin(\pi - \alpha) $

Используем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \pi $, функция $ \sin $ не меняется.
2. Угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен.
Следовательно, $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

4) $ \cos(-\alpha + 270^\circ) $

Сначала преобразуем выражение. Используя четность косинуса ($ \cos(-x) = \cos(x) $), получаем $ \cos(-\alpha + 270^\circ) = \cos(270^\circ - \alpha) $. Переведем градусы в радианы: $ 270^\circ = \frac{3\pi}{2} $.
Получаем $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $. Теперь применяем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \frac{3\pi}{2} $, функция $ \cos $ меняется на кофункцию $ \sin $.
2. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где косинус отрицателен.
Следовательно, $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) $.
Ответ: $ -\sin(\alpha) $

5) $ \cos(\alpha - 180^\circ) $

Используем свойство четности косинуса: $ \cos(\alpha - 180^\circ) = \cos(-(180^\circ - \alpha)) = \cos(180^\circ - \alpha) $. Переведем градусы в радианы: $ 180^\circ = \pi $.
Получаем $ \cos(\pi - \alpha) $. Применяем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \pi $, функция $ \cos $ не меняется.
2. Угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен.
Следовательно, $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

6) $ \cos^2(3\pi - \alpha) $

Выражение можно записать как $ (\cos(3\pi - \alpha))^2 $. Сначала упростим $ \cos(3\pi - \alpha) $.
Учитывая периодичность косинуса, $ 3\pi = 2\pi + \pi $, поэтому $ \cos(3\pi - \alpha) = \cos(2\pi + \pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) $.
По формуле приведения $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Тогда исходное выражение равно $ (-\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) $.
Ответ: $ \cos^2(\alpha) $

7) $ \operatorname{ctg}^2(90^\circ + \alpha) $

Выражение можно записать как $ (\operatorname{ctg}(90^\circ + \alpha))^2 $. Упростим $ \operatorname{ctg}(90^\circ + \alpha) $. В радианах $ 90^\circ = \frac{\pi}{2} $.
Применяем формулы приведения для $ \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) $.
1. Так как в аргументе содержится $ \frac{\pi}{2} $, функция $ \operatorname{ctg} $ меняется на $ \operatorname{tg} $.
2. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во II четверти, где котангенс отрицателен.
Значит, $ \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $.
Тогда исходное выражение равно $ (-\operatorname{tg}(\alpha))^2 = \operatorname{tg}^2(\alpha) $.
Ответ: $ \operatorname{tg}^2(\alpha) $

8) $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) $

Используем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \frac{\pi}{2} $, функция $ \cos $ меняется на $ \sin $.
2. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен.
Следовательно, $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $.
Ответ: $ -\sin(\alpha) $

9) $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $

Используем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \frac{3\pi}{2} $, функция $ \sin $ меняется на $ \cos $.
2. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где синус отрицателен.
Следовательно, $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $