Номер 21.25, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.25. Найдите наибольшее значение выражения:

1) $\sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha;$

2) $\sin \alpha + \cos \alpha.$

1) Для нахождения наибольшего значения выражения вида $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Это выражение можно преобразовать к виду $R \sin(\alpha + \varphi)$ или $R \cos(\alpha - \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

Поскольку область значений функций синуса и косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, наибольшее значение выражения $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ равно $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем случае, для выражения $\sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha$, коэффициенты равны $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$.

Найдем наибольшее значение:

$R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 2.

Для полноты решения, покажем само преобразование. Вынесем 2 за скобки:

$\sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \right)$.

Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \left( \sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos \alpha \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)$.

Применяя формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$, имеем:

$2 \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)$.

Максимальное значение этого выражения равно $2 \cdot 1 = 2$, что подтверждает наш расчет.

Ответ: 2.

2) Аналогично, для выражения $\sin \alpha + \cos \alpha$ коэффициенты равны $a=1$ и $b=1$.

Найдем наибольшее значение, вычислив $R = \sqrt{a^2+b^2}$:

$R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Следовательно, наибольшее значение выражения равно $\sqrt{2}$.

Выполним преобразование, чтобы это показать. Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:

$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right)$.

Зная, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sqrt{2} \left( \sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos \alpha \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right)$.

Применяя формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, имеем:

$\sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$.

Максимальное значение этого выражения равно $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.