Номер 21.27, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.27. Постройте график функции:

1) $y = \frac{\operatorname{tg} 2x - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} x}$;

2) $y = \frac{\sqrt{3} + \operatorname{tg} x}{1 - \sqrt{3} \operatorname{tg} x}$.

1) $y = \frac{\operatorname{tg} 2x - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} x}$

Для упрощения выражения в правой части уравнения воспользуемся формулой тангенса разности: $ \operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $.

Применив эту формулу для $\alpha = 2x$ и $\beta = x$, получаем: $ y = \operatorname{tg}(2x - x) = \operatorname{tg} x $.

Теперь необходимо найти область определения исходной функции (ОДЗ), так как упрощенная функция может иметь более широкую область определения.

1. Аргументы тангенсов должны быть такими, чтобы тангенсы существовали. Для $\operatorname{tg} x$: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для $\operatorname{tg} 2x$: $\cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Знаменатель исходной дроби не должен обращаться в нуль: $1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} x \neq 0$. Это выражение является знаменателем в формуле $\operatorname{tg}(2x - x)$. Оно обращается в нуль, когда $\cos(2x-x) = \cos x = 0$, при условии, что $\cos 2x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$ (что уже учтено в п.1). Таким образом, это условие не добавляет новых ограничений, кроме тех, что уже есть.

Итак, область определения задается двумя условиями: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Графиком функции является график $y = \operatorname{tg} x$. Стандартные вертикальные асимптоты этого графика $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ уже соответствуют первому ограничению. Второе ограничение $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ приводит к необходимости "выколоть" точки на графике $y = \operatorname{tg} x$.

Найдем ординаты этих выколотых точек:

• Если $n$ — четное число ($n=2m$), то $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$. Тогда $y = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4} + \pi m) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
• Если $n$ — нечетное число ($n=2m+1$), то $x = \frac{\pi}{4} + \frac{(2m+1)\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi m$. Тогда $y = \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} + \pi m) = \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$.

Следовательно, искомый график — это график функции $y = \operatorname{tg} x$ с выколотыми (пустыми) точками.

Ответ: Графиком функции является тангенсоида $y = \operatorname{tg} x$ с выколотыми точками, имеющими координаты $(\frac{\pi}{4} + \pi m, 1)$ и $(\frac{3\pi}{4} + \pi m, -1)$ для всех $m \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \frac{\sqrt{3} + \operatorname{tg} x}{1 - \sqrt{3} \operatorname{tg} x}$

Заменим число $\sqrt{3}$ на $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3})$. Тогда функция примет вид: $ y = \frac{\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) \operatorname{tg} x} $.

Это выражение соответствует формуле тангенса суммы: $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $.

Применив эту формулу для $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$, получаем упрощенный вид функции: $ y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3}) $.

Найдем область определения (ОДЗ) исходной функции.

1. Должен существовать $\operatorname{tg} x$: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Знаменатель исходной дроби не должен быть равен нулю: $1 - \sqrt{3} \operatorname{tg} x \neq 0 \implies \operatorname{tg} x \neq \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

График функции $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3})$ — это график $y = \operatorname{tg} x$, сдвинутый по оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ влево. Его вертикальные асимптоты находятся в точках, где $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$. Это в точности совпадает со вторым ограничением ОДЗ.

Первое ограничение ОДЗ, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, означает, что на графике $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3})$ нужно выколоть точки с этими абсциссами. Найдем их ординаты: $ y = \operatorname{tg}((\frac{\pi}{2} + \pi k) + \frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg}(\frac{3\pi+2\pi}{6} + \pi k) = \operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6} + \pi k) $. Поскольку период тангенса равен $\pi$, $y = \operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, для построения искомого графика нужно построить график функции $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3})$ и выколоть на нем точки.

Ответ: Графиком функции является график $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3})$ (тангенсоида, сдвинутая на $\frac{\pi}{3}$ влево) с выколотыми точками, имеющими координаты $(\frac{\pi}{2} + \pi k, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.