Номер 21.23, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.23. Докажите тождество:

1) $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta;$

2) $(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 - 2 = 2\cos(\alpha + \beta);$

3) $\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \beta}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha \operatorname{tg}^2 \beta} = \operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}(\alpha - \beta);$

4) $\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha - \beta)} + 2\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{2}{\cos^2 \alpha}.$

1)

Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Используем формулы синуса суммы и синуса разности углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Перемножим эти выражения:

$\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta)$

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \sin\alpha\cos\beta$ и $b = \cos\alpha\sin\beta$.

$(\sin\alpha\cos\beta)^2 - (\cos\alpha\sin\beta)^2 = \sin^2\alpha\cos^2\beta - \cos^2\alpha\sin^2\beta$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2x = 1 - \sin^2x$, чтобы выразить $\cos^2\beta$ и $\cos^2\alpha$ через синусы:

$\sin^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha)\sin^2\beta$

Раскроем скобки:

$\sin^2\alpha - \sin^2\alpha\sin^2\beta - \sin^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta$

Сократим подобные слагаемые $(-\sin^2\alpha\sin^2\beta$ и $+\sin^2\alpha\sin^2\beta)$:

$\sin^2\alpha - \sin^2\beta$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(\sin\alpha - \sin\beta)^2 + (\cos\alpha + \cos\beta)^2 - 2 = (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta) + (\cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta) - 2$

Сгруппируем слагаемые, чтобы применить основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\beta + \cos^2\beta) + 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta - 2$

$1 + 1 + 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta - 2$

Упростим выражение:

$2 + 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta - 2 = 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)$

Выражение в скобках является формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

Таким образом, левая часть равна $2\cos(\alpha + \beta)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Числитель и знаменатель дроби можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{\operatorname{tg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\beta}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha\operatorname{tg}^2\beta} = \frac{(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta)(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}{(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta)(1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta)}$

Перегруппируем множители в виде произведения двух дробей:

$\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} \cdot \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$

Первый множитель является формулой тангенса суммы, а второй — тангенса разности:

$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$

$\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$

Подставив эти формулы, получаем:

$\operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}(\alpha - \beta)$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть тождества. Для этого подставим в знаменатели дробей формулы тангенса суммы и разности:

$\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha - \beta)} + 2\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}} + \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{\frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}} + 2\operatorname{tg}^2\alpha$

Упростим полученные "многоэтажные" дроби:

$(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta} = 1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta$

$(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta) \cdot \frac{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta} = 1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta$

Подставим упрощенные выражения обратно в левую часть:

$(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta) + (1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta) + 2\operatorname{tg}^2\alpha$

Приведем подобные слагаемые:

$1 + 1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta + 2\operatorname{tg}^2\alpha = 2 + 2\operatorname{tg}^2\alpha$

Вынесем 2 за скобки:

$2(1 + \operatorname{tg}^2\alpha)$

Используя тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{2}{\cos^2\alpha}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.