Страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.17. Найдите:

1) $sin 15^\circ$;

2) $sin 105^\circ$;

3) $\operatorname{ctg} 105^\circ$.

1) sin 15°

Для нахождения значения $\sin 15°$ представим угол $15°$ как разность двух стандартных углов, для которых известны значения тригонометрических функций, например, $45°$ и $30°$. То есть $15° = 45° - 30°$.

Воспользуемся формулой синуса разности двух углов:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Подставим наши значения $\alpha = 45°$ и $\beta = 30°$:

$\sin 15° = \sin(45° - 30°) = \sin 45° \cos 30° - \cos 45° \sin 30°$

Теперь подставим известные значения синусов и косинусов:

$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 30° = \frac{1}{2}$

Выполним вычисление:

$\sin 15° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

2) sin 105°

Представим угол $105°$ как сумму двух стандартных углов: $105° = 60° + 45°$.

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

Подставим наши значения $\alpha = 60°$ и $\beta = 45°$:

$\sin 105° = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45°$

Подставим известные значения тригонометрических функций:

$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 60° = \frac{1}{2}$

$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Выполним вычисление:

$\sin 105° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3) ctg 105°

Котангенс угла можно найти по формуле $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Значение $\sin 105°$ мы уже нашли в предыдущем пункте: $\sin 105° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Теперь найдем $\cos 105°$, используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ и представление $105° = 60° + 45°$.

$\cos 105° = \cos(60° + 45°) = \cos 60° \cos 45° - \sin 60° \sin 45°$

Подставим известные значения:

$\cos 105° = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Теперь вычислим котангенс, разделив косинус на синус:

$\cot 105° = \frac{\cos 105°}{\sin 105°} = \frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{6} - \sqrt{2})$:

$\cot 105° = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{6})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})} \cdot \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}$

Вычислим знаменатель: $6 - 2 = 4$.

Вычислим числитель: $(\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = -(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = -(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = - (6 - 2\sqrt{12} + 2) = - (8 - 2\sqrt{4 \cdot 3}) = - (8 - 4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 8$.

Подставим полученные значения:

$\cot 105° = \frac{4\sqrt{3} - 8}{4} = \frac{4(\sqrt{3} - 2)}{4} = \sqrt{3} - 2$

Ответ: $\sqrt{3} - 2$

21.18. Найдите:

1) $ \cos 75^\circ $;

2) $ \sin 75^\circ $.

1)

Чтобы найти значение $\cos 75°$, представим угол $75°$ в виде суммы двух стандартных углов, для которых известны значения тригонометрических функций. Наиболее удобным является представление $75° = 45° + 30°$.

Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:
$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

Подставим в эту формулу $\alpha = 45°$ и $\beta = 30°$:
$\cos 75° = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30°$

Теперь используем известные значения тригонометрических функций для углов $30°$ и $45°$:
$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin 30° = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в наше выражение:
$\cos 75° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

Выполним умножение и вычитание дробей:
$\cos 75° = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

2)

Для нахождения значения $\sin 75°$ используем то же представление угла: $75° = 45° + 30°$.

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

Подставим в эту формулу $\alpha = 45°$ и $\beta = 30°$:
$\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°$

Используем те же табличные значения тригонометрических функций:
$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin 30° = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в наше выражение:
$\sin 75° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

Выполним умножение и сложение дробей:
$\sin 75° = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

21.19. Докажите тождество:

1) $\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta = \frac{\text{sin}(\alpha - \beta)}{\text{cos}\alpha \text{cos}\beta}$;

2) $\text{ctg}\alpha + \text{tg}\beta = \frac{\text{cos}(\alpha - \beta)}{\text{sin}\alpha \text{cos}\beta}$.

1)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Для этого выразим тангенсы через синусы и косинусы, используя определение $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$tg \alpha - tg \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Далее приведем дроби к общему знаменателю $\cos \alpha \cos \beta$:

$\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$

Выражение в числителе является развернутой формулой синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Выполнив замену в числителе, получаем:

$\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$

Таким образом, левая часть тождества после преобразований стала равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

2)

Для доказательства второго тождества также преобразуем его левую часть. Воспользуемся определениями котангенса $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и тангенса $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$ctg \alpha + tg \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin \alpha \cos \beta$:

$\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \cos \beta} + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta}$

Выражение в числителе является развернутой формулой косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Подставим эту формулу в числитель нашего выражения:

$\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \beta}$

Левая часть тождества была преобразована к виду правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

21.20. Докажите тождество $\cot \alpha + \cot \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}$.

21.20.

Для доказательства тождества $ctg \alpha + ctg \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}$ необходимо преобразовать одну из его частей так, чтобы она стала идентична другой. Преобразуем левую часть тождества.

1. Выразим котангенсы через синусы и косинусы, используя определение $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$:

$ctg \alpha + ctg \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $\sin \alpha \sin \beta$:

$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \sin \beta} + \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}$

3. Сложим дроби, объединив числители над общим знаменателем:

$\frac{\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}$

4. Выражение в числителе, $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, является развернутой формулой синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta)$.

5. Заменим числитель на синус суммы:

$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}$

В результате преобразования левой части тождества мы получили его правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

21.21. Упростите выражение:

1) $\cos\frac{\alpha}{2}\text{ctg}\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}$;

2) $\text{ctg}\alpha - \text{ctg}2\alpha$;

3) $\frac{1}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}2\alpha}$.

1) Упростим выражение $\cos\frac{\alpha}{2}\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}$.
Заменим котангенс по определению $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} + \sin\frac{\alpha}{2}$
Приведем к общему знаменателю $\sin\frac{\alpha}{4}$:
$\frac{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}}$
Числитель дроби является формулой косинуса разности: $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$. В нашем случае $A = \frac{\alpha}{2}$ и $B = \frac{\alpha}{4}$.
Таким образом, числитель равен $\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{4}) = \cos\frac{\alpha}{4}$.
Подставим это обратно в выражение:
$\frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} = \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4}$
Ответ: $\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4}$.

2) Упростим выражение $\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}2\alpha$.
Заменим котангенсы по определению $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$
Приведем к общему знаменателю $\sin\alpha\sin2\alpha$:
$\frac{\cos\alpha\sin2\alpha - \sin\alpha\cos2\alpha}{\sin\alpha\sin2\alpha}$
Числитель дроби является формулой синуса разности: $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$. В нашем случае $A = 2\alpha$ и $B = \alpha$.
Таким образом, числитель равен $\sin(2\alpha - \alpha) = \sin\alpha$.
Подставим это обратно в выражение:
$\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha\sin2\alpha}$
Сократим дробь на $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):
$\frac{1}{\sin2\alpha}$
Ответ: $\frac{1}{\sin2\alpha}$.

3) Упростим выражение $\frac{1}{1+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}2\alpha}$.
Заменим тангенсы по определению $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$\frac{1}{1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}} = \frac{1}{1+\frac{\sin\alpha\sin2\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha}}$
Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю $\cos\alpha\cos2\alpha$:
$\frac{1}{\frac{\cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha}}$
Упростим многоэтажную дробь, перевернув знаменатель:
$\frac{\cos\alpha\cos2\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha}$
Знаменатель дроби является формулой косинуса разности: $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$. В нашем случае $A = 2\alpha$ и $B = \alpha$.
Таким образом, знаменатель равен $\cos(2\alpha - \alpha) = \cos\alpha$.
Подставим это обратно в выражение:
$\frac{\cos\alpha\cos2\alpha}{\cos\alpha}$
Сократим дробь на $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):
$\cos2\alpha$
Ответ: $\cos2\alpha$.

21.22. Упростите выражение:

1) $ \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \tan \alpha $

2) $ \cos 4\alpha - \sin 4\alpha \cot 2\alpha $

1) $ \cos(2\alpha) + \sin(2\alpha)\text{tg}(\alpha) $

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими формулами двойного угла и определением тангенса.

Вспомним формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.

А также определение тангенса: $ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$ \cos(2\alpha) + (2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $

Сократим $ \cos(\alpha) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \cos(\alpha) \neq 0 $, что является областью определения для $ \text{tg}(\alpha) $):

$ \cos(2\alpha) + 2\sin(\alpha)\sin(\alpha) = \cos(2\alpha) + 2\sin^2(\alpha) $

Теперь применим одну из формул косинуса двойного угла, а именно $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) $. Подставим ее в полученное выражение:

$ (1 - 2\sin^2(\alpha)) + 2\sin^2(\alpha) $

Слагаемые $ -2\sin^2(\alpha) $ и $ 2\sin^2(\alpha) $ взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$ 1 $

Ответ: $ 1 $

2) $ \cos(4\alpha) - \sin(4\alpha)\text{ctg}(2\alpha) $

Для упрощения этого выражения будем использовать формулы для угла $ 4\alpha $, рассматривая его как $ 2 \cdot (2\alpha) $, а также определение котангенса.

Формула синуса двойного угла для $ \sin(4\alpha) $: $ \sin(4\alpha) = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $.

Определение котангенса для $ \text{ctg}(2\alpha) $: $ \text{ctg}(2\alpha) = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} $.

Подставим эти выражения в исходное:

$ \cos(4\alpha) - (2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)) \cdot \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} $

Сократим $ \sin(2\alpha) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin(2\alpha) \neq 0 $, что является областью определения для $ \text{ctg}(2\alpha) $):

$ \cos(4\alpha) - 2\cos(2\alpha)\cos(2\alpha) = \cos(4\alpha) - 2\cos^2(2\alpha) $

Теперь применим формулу косинуса двойного угла для $ \cos(4\alpha) $, а именно $ \cos(4\alpha) = \cos(2 \cdot 2\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1 $. Подставим ее в полученное выражение:

$ (2\cos^2(2\alpha) - 1) - 2\cos^2(2\alpha) $

Слагаемые $ 2\cos^2(2\alpha) $ и $ -2\cos^2(2\alpha) $ взаимно уничтожаются, и остается:

$ -1 $

Ответ: $ -1 $

21.23. Докажите тождество:

1) $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta;$

2) $(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 - 2 = 2\cos(\alpha + \beta);$

3) $\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \beta}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha \operatorname{tg}^2 \beta} = \operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}(\alpha - \beta);$

4) $\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(\alpha - \beta)} + 2\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{2}{\cos^2 \alpha}.$

1)

Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Используем формулы синуса суммы и синуса разности углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Перемножим эти выражения:

$\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta)$

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \sin\alpha\cos\beta$ и $b = \cos\alpha\sin\beta$.

$(\sin\alpha\cos\beta)^2 - (\cos\alpha\sin\beta)^2 = \sin^2\alpha\cos^2\beta - \cos^2\alpha\sin^2\beta$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2x = 1 - \sin^2x$, чтобы выразить $\cos^2\beta$ и $\cos^2\alpha$ через синусы:

$\sin^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha)\sin^2\beta$

Раскроем скобки:

$\sin^2\alpha - \sin^2\alpha\sin^2\beta - \sin^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta$

Сократим подобные слагаемые $(-\sin^2\alpha\sin^2\beta$ и $+\sin^2\alpha\sin^2\beta)$:

$\sin^2\alpha - \sin^2\beta$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(\sin\alpha - \sin\beta)^2 + (\cos\alpha + \cos\beta)^2 - 2 = (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta) + (\cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta) - 2$

Сгруппируем слагаемые, чтобы применить основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\beta + \cos^2\beta) + 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta - 2$

$1 + 1 + 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta - 2$

Упростим выражение:

$2 + 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta - 2 = 2\cos\alpha\cos\beta - 2\sin\alpha\sin\beta$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)$

Выражение в скобках является формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

Таким образом, левая часть равна $2\cos(\alpha + \beta)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть тождества. Числитель и знаменатель дроби можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{\operatorname{tg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\beta}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha\operatorname{tg}^2\beta} = \frac{(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta)(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}{(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta)(1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta)}$

Перегруппируем множители в виде произведения двух дробей:

$\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} \cdot \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$

Первый множитель является формулой тангенса суммы, а второй — тангенса разности:

$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$

$\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$

Подставив эти формулы, получаем:

$\operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}(\alpha - \beta)$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть тождества. Для этого подставим в знаменатели дробей формулы тангенса суммы и разности:

$\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha + \beta)} + \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha - \beta)} + 2\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}} + \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{\frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}} + 2\operatorname{tg}^2\alpha$

Упростим полученные "многоэтажные" дроби:

$(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta} = 1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta$

$(\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta) \cdot \frac{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta} = 1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta$

Подставим упрощенные выражения обратно в левую часть:

$(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta) + (1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta) + 2\operatorname{tg}^2\alpha$

Приведем подобные слагаемые:

$1 + 1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta + 2\operatorname{tg}^2\alpha = 2 + 2\operatorname{tg}^2\alpha$

Вынесем 2 за скобки:

$2(1 + \operatorname{tg}^2\alpha)$

Используя тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{2}{\cos^2\alpha}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

21.24. Докажите тождество:

1) $\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta;$

2) $\text{tg}(\alpha + \beta) - (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) - \text{tg}(\alpha + \beta)\text{tg}\alpha\text{tg}\beta = 0.$

1) Докажем тождество $ \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $

Перемножим правые части этих формул:

$ \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) $

Воспользуемся формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $, где $ a = \cos \alpha \cos \beta $ и $ b = \sin \alpha \sin \beta $:

$ (\cos \alpha \cos \beta)^2 - (\sin \alpha \sin \beta)^2 = \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta $

Теперь используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Выразим из него $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $ и подставим в полученное выражение:

$ \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - (1 - \cos^2 \alpha)\sin^2 \beta = \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta $

Вынесем $ \cos^2 \alpha $ за скобки:

$ \cos^2 \alpha (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) - \sin^2 \beta $

Так как $ \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1 $, получаем:

$ \cos^2 \alpha \cdot 1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta $

Мы преобразовали левую часть тождества к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \tg(\alpha + \beta) - (\tg\alpha + \tg\beta) - \tg(\alpha + \beta)\tg\alpha\tg\beta = 0 $.

Запишем формулу тангенса суммы:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta} $

Это равенство является тождеством при условии, что все тангенсы существуют (т.е. косинусы соответствующих углов не равны нулю) и знаменатель не равен нулю ($ 1 - \tg\alpha\tg\beta \neq 0 $).

Умножим обе части равенства на знаменатель $ (1 - \tg\alpha\tg\beta) $:

$ \tg(\alpha + \beta) (1 - \tg\alpha\tg\beta) = \tg\alpha + \tg\beta $

Раскроем скобки в левой части:

$ \tg(\alpha + \beta) - \tg(\alpha + \beta)\tg\alpha\tg\beta = \tg\alpha + \tg\beta $

Перенесем все члены в левую часть равенства, изменив их знаки на противоположные:

$ \tg(\alpha + \beta) - (\tg\alpha + \tg\beta) - \tg(\alpha + \beta)\tg\alpha\tg\beta = 0 $

Мы получили исходное выражение, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

21.25. Найдите наибольшее значение выражения:

1) $\sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha;$

2) $\sin \alpha + \cos \alpha.$

1) Для нахождения наибольшего значения выражения вида $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Это выражение можно преобразовать к виду $R \sin(\alpha + \varphi)$ или $R \cos(\alpha - \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

Поскольку область значений функций синуса и косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, наибольшее значение выражения $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ равно $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем случае, для выражения $\sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha$, коэффициенты равны $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$.

Найдем наибольшее значение:

$R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 2.

Для полноты решения, покажем само преобразование. Вынесем 2 за скобки:

$\sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \right)$.

Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \left( \sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos \alpha \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right)$.

Применяя формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$, имеем:

$2 \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)$.

Максимальное значение этого выражения равно $2 \cdot 1 = 2$, что подтверждает наш расчет.

Ответ: 2.

2) Аналогично, для выражения $\sin \alpha + \cos \alpha$ коэффициенты равны $a=1$ и $b=1$.

Найдем наибольшее значение, вычислив $R = \sqrt{a^2+b^2}$:

$R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Следовательно, наибольшее значение выражения равно $\sqrt{2}$.

Выполним преобразование, чтобы это показать. Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:

$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right)$.

Зная, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sqrt{2} \left( \sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos \alpha \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right)$.

Применяя формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, имеем:

$\sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$.

Максимальное значение этого выражения равно $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

21.26. Найдите наименьшее значение выражения:

1) $\sqrt{3} \cos\alpha - \sin\alpha$;

2) $\sqrt{2} \sin\alpha + \sqrt{6} \cos\alpha$.

1) Для нахождения наименьшего значения выражения $\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ можно преобразовать к виду $A\cos(\alpha \mp \phi)$ или $A\sin(\alpha \pm \phi)$, где $A = \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем случае коэффициенты при $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ равны $a = \sqrt{3}$ и $b = -1$.

Вычислим амплитуду $A$:
$A = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Вынесем множитель $2$ за скобки в исходном выражении:
$\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha\right)$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$. Подставим эти значения в выражение в скобках:
$2\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha\right)$.

Теперь воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.
Применив эту формулу, получим:
$2\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$.

Область значений функции косинус находится в промежутке от $-1$ до $1$, то есть $-1 \le \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$.
Следовательно, область значений всего выражения будет от $2 \cdot (-1)$ до $2 \cdot 1$, то есть от $-2$ до $2$.
Наименьшее значение выражения равно $-2$.

Ответ: $-2$.

2) Найдем наименьшее значение выражения $\sqrt{2}\sin\alpha + \sqrt{6}\cos\alpha$. Применим тот же метод вспомогательного угла.

В этом выражении коэффициенты при $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ равны $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{6}$.

Вычислим амплитуду $A$:
$A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Вынесем множитель $2\sqrt{2}$ за скобки:
$\sqrt{2}\sin\alpha + \sqrt{6}\cos\alpha = 2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\sin\alpha + \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\cos\alpha\right)$.

Упростим дроби в скобках:
$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Выражение принимает вид:
$2\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right)$.

Представим коэффициенты в виде тригонометрических функций. Можно заметить, что $\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$. Подставим их в выражение:
$2\sqrt{2}\left(\sin\alpha\cos\frac{\pi}{3} + \cos\alpha\sin\frac{\pi}{3}\right)$.

Воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.
Применив формулу, получаем:
$2\sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)$.

Область значений функции синус находится в промежутке от $-1$ до $1$, то есть $-1 \le \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) \le 1$.
Следовательно, область значений всего выражения находится в промежутке от $2\sqrt{2} \cdot (-1)$ до $2\sqrt{2} \cdot 1$, то есть от $-2\sqrt{2}$ до $2\sqrt{2}$.
Наименьшее значение выражения равно $-2\sqrt{2}$.

Ответ: $-2\sqrt{2}$.

21.27. Постройте график функции:

1) $y = \frac{\operatorname{tg} 2x - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} x}$;

2) $y = \frac{\sqrt{3} + \operatorname{tg} x}{1 - \sqrt{3} \operatorname{tg} x}$.

1) $y = \frac{\operatorname{tg} 2x - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} x}$

Для упрощения выражения в правой части уравнения воспользуемся формулой тангенса разности: $ \operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $.

Применив эту формулу для $\alpha = 2x$ и $\beta = x$, получаем: $ y = \operatorname{tg}(2x - x) = \operatorname{tg} x $.

Теперь необходимо найти область определения исходной функции (ОДЗ), так как упрощенная функция может иметь более широкую область определения.

1. Аргументы тангенсов должны быть такими, чтобы тангенсы существовали. Для $\operatorname{tg} x$: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Для $\operatorname{tg} 2x$: $\cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Знаменатель исходной дроби не должен обращаться в нуль: $1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} x \neq 0$. Это выражение является знаменателем в формуле $\operatorname{tg}(2x - x)$. Оно обращается в нуль, когда $\cos(2x-x) = \cos x = 0$, при условии, что $\cos 2x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$ (что уже учтено в п.1). Таким образом, это условие не добавляет новых ограничений, кроме тех, что уже есть.

Итак, область определения задается двумя условиями: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Графиком функции является график $y = \operatorname{tg} x$. Стандартные вертикальные асимптоты этого графика $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ уже соответствуют первому ограничению. Второе ограничение $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ приводит к необходимости "выколоть" точки на графике $y = \operatorname{tg} x$.

Найдем ординаты этих выколотых точек:

• Если $n$ — четное число ($n=2m$), то $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$. Тогда $y = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4} + \pi m) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
• Если $n$ — нечетное число ($n=2m+1$), то $x = \frac{\pi}{4} + \frac{(2m+1)\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi m$. Тогда $y = \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} + \pi m) = \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$.

Следовательно, искомый график — это график функции $y = \operatorname{tg} x$ с выколотыми (пустыми) точками.

Ответ: Графиком функции является тангенсоида $y = \operatorname{tg} x$ с выколотыми точками, имеющими координаты $(\frac{\pi}{4} + \pi m, 1)$ и $(\frac{3\pi}{4} + \pi m, -1)$ для всех $m \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \frac{\sqrt{3} + \operatorname{tg} x}{1 - \sqrt{3} \operatorname{tg} x}$

Заменим число $\sqrt{3}$ на $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3})$. Тогда функция примет вид: $ y = \frac{\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) \operatorname{tg} x} $.

Это выражение соответствует формуле тангенса суммы: $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $.

Применив эту формулу для $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x$, получаем упрощенный вид функции: $ y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3}) $.

Найдем область определения (ОДЗ) исходной функции.

1. Должен существовать $\operatorname{tg} x$: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Знаменатель исходной дроби не должен быть равен нулю: $1 - \sqrt{3} \operatorname{tg} x \neq 0 \implies \operatorname{tg} x \neq \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

График функции $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3})$ — это график $y = \operatorname{tg} x$, сдвинутый по оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ влево. Его вертикальные асимптоты находятся в точках, где $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$. Это в точности совпадает со вторым ограничением ОДЗ.

Первое ограничение ОДЗ, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, означает, что на графике $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3})$ нужно выколоть точки с этими абсциссами. Найдем их ординаты: $ y = \operatorname{tg}((\frac{\pi}{2} + \pi k) + \frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg}(\frac{3\pi+2\pi}{6} + \pi k) = \operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6} + \pi k) $. Поскольку период тангенса равен $\pi$, $y = \operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Таким образом, для построения искомого графика нужно построить график функции $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3})$ и выколоть на нем точки.

Ответ: Графиком функции является график $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3})$ (тангенсоида, сдвинутая на $\frac{\pi}{3}$ влево) с выколотыми точками, имеющими координаты $(\frac{\pi}{2} + \pi k, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

21.28. Постройте график функции:

1) $y = \frac{\operatorname{tg} 3x - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} 3x \operatorname{tg} x}$;

2) $y = \frac{\operatorname{tg} x - 1}{\operatorname{tg} x + 1}$.

1) $y = \frac{\tg 3x - \tg x}{1 + \tg 3x \tg x}$

Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$. В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = x$. Тогда функцию можно упростить: $y = \tg(3x - x) = \tg(2x)$.

Теперь найдем область определения исходной функции (ОДЗ). Выражение имеет смысл, если:

• $\tg x$ определен, то есть $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• $\tg 3x$ определен, то есть $\cos 3x \neq 0$, что означает $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, или $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Знаменатель не равен нулю: $1 + \tg 3x \tg x \neq 0$. Это условие нарушается, если $\cos(3x-x) = \cos(2x) = 0$, то есть $2x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, или $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \tg(2x)$ за исключением точек, не входящих в ОДЗ. Функция $y = \tg(2x)$ имеет вертикальные асимптоты при $2x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$. Эти точки уже исключены из ОДЗ. Нам нужно дополнительно исключить точки, в которых не определены $\tg x$ или $\tg 3x$. Условие $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ является частным случаем условия $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$ (при $k=1, 4, ...$ или $k=-2, -5, ...$). Следовательно, из графика функции $y = \tg(2x)$ нужно выколоть точки с абсциссами $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.

Найдем ординаты этих выколотых точек, подставляя их абсциссы в упрощенную функцию $y = \tg(2x)$:

• При $k=3j$ (например, $k=0, 3, ...$): $x = \frac{\pi}{6} + \pi j$. $y = \tg(2(\frac{\pi}{6} + \pi j)) = \tg(\frac{\pi}{3} + 2\pi j) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Выколоты точки $(\frac{\pi}{6} + \pi j, \sqrt{3})$.
• При $k=3j+1$ (например, $k=1, 4, ...$): $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi j = \frac{\pi}{2} + \pi j$. $y = \tg(2(\frac{\pi}{2} + \pi j)) = \tg(\pi + 2\pi j) = \tg(\pi) = 0$. Выколоты точки $(\frac{\pi}{2} + \pi j, 0)$.
• При $k=3j+2$ (например, $k=2, 5, ...$): $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + \pi j = \frac{5\pi}{6} + \pi j$. $y = \tg(2(\frac{5\pi}{6} + \pi j)) = \tg(\frac{5\pi}{3} + 2\pi j) = \tg(\frac{5\pi}{3}) = -\sqrt{3}$. Выколоты точки $(\frac{5\pi}{6} + \pi j, -\sqrt{3})$.

Таким образом, для построения графика нужно:
1. Построить график функции $y = \tg(2x)$. Это тангенсоида, сжатая в 2 раза по оси Ox, с периодом $T = \frac{\pi}{2}$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$.
2. Выколоть на этом графике точки с координатами $(\frac{\pi}{6} + \pi j, \sqrt{3})$, $(\frac{\pi}{2} + \pi j, 0)$, $(\frac{5\pi}{6} + \pi j, -\sqrt{3})$ для всех целых $j$.

Ответ: Графиком функции является график функции $y = \tg(2x)$ с выколотыми точками, абсциссы которых равны $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \frac{\tg x - 1}{\tg x + 1}$

Заметим, что $1 = \tg(\frac{\pi}{4})$. Перепишем функцию: $y = \frac{\tg x - \tg(\frac{\pi}{4})}{1 + \tg x} = \frac{\tg x - \tg(\frac{\pi}{4})}{1 + \tg x \cdot 1} = \frac{\tg x - \tg(\frac{\pi}{4})}{1 + \tg x \cdot \tg(\frac{\pi}{4})}$.

Это выражение соответствует формуле тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$. Здесь $\alpha = x$, $\beta = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, функция упрощается до: $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.

Найдем область определения исходной функции (ОДЗ):

• $\tg x$ должен быть определен, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Знаменатель не должен быть равен нулю: $\tg x + 1 \neq 0$, откуда $\tg x \neq -1$. Это означает, что $x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

График исходной функции — это график функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ с выколотыми точками. Упрощенная функция $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ не определена, когда ее аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi m$: $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi m$. Заметим, что $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} - \pi + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi(n-1)$. Это те же самые точки. Таким образом, вертикальные асимптоты графика $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ соответствуют точкам, где знаменатель исходной функции обращается в ноль.

Теперь нужно учесть второе условие ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. В этих точках исходная функция не определена, так как не определен $\tg x$. Мы должны выколоть эти точки на графике $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.

Найдем ординаты выколотых точек, подставив их абсциссы $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ в упрощенную функцию: $y = \tg\left(\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) - \frac{\pi}{4}\right) = \tg\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right)$. Так как период тангенса равен $\pi$, $\tg(\frac{\pi}{4} + \pi k) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$. Следовательно, все выколотые точки имеют ординату $y=1$.

Таким образом, для построения графика нужно:
1. Построить график функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$. Это график $y = \tg x$, сдвинутый вправо на $\frac{\pi}{4}$. Период $T=\pi$, вертикальные асимптоты $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
2. Выколоть на этом графике точки с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 1)$ для всех целых $k$.

Ответ: Графиком функции является график $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ с выколотыми точками $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.