Страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Сформулируйте правила, которыми можно руководствоваться при применении формул приведения.

Формулы приведения используются для того, чтобы свести тригонометрическую функцию от произвольного угла к функции от острого угла. Существует простое мнемоническое правило (иногда называемое "правилом лошадки"), которое позволяет легко применять эти формулы. Правило состоит из двух шагов.

Любую формулу приведения можно представить в виде $f(n \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha)$ или $f(n \cdot 90^\circ \pm \alpha)$, где $f$ — это одна из тригонометрических функций, $n$ — целое число, а $\alpha$ — острый угол.

1. Определение знака конечного выражения

Знак в правой части формулы определяется по знаку исходной функции в той координатной четверти, в которой находится угол $n \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$. Для определения четверти мысленно считаем угол $\alpha$ малым и острым (например, $10^\circ-30^\circ$).

• I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$ или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$): все функции ($\sin, \cos, \tan, \cot$) имеют знак «+».
• II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$ или от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$): только $\sin$ имеет знак «+», остальные «−».
• III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$ или от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$): только $\tan$ и $\cot$ имеют знак «+», остальные «−».
• IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$ или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$): только $\cos$ имеет знак «+», остальные «−».

Пример: Определим знак для $\sin(\pi - \alpha)$. Угол $(\pi - \alpha)$ находится во II четверти. Исходная функция — синус. Синус во II четверти положителен. Значит, результат будет со знаком «+».

2. Определение названия конечной функции

Здесь применяется правило, которое зависит от точек на единичной окружности, от которых откладывается угол $\alpha$.

• Если в формуле участвуют углы $\pi$ ($180^\circ$) или $2\pi$ ($360^\circ$), то есть точки, лежащие на горизонтальной оси, то название функции не меняется. (Мнемонически: мысленно проводим по горизонтальной оси и качаем головой "нет").
  Пример: $\cos(\pi + \alpha) \rightarrow \cos(\alpha)$ (знак определится отдельно), $\tan(2\pi - \alpha) \rightarrow \tan(\alpha)$.
• Если в формуле участвуют углы $\frac{\pi}{2}$ ($90^\circ$) или $\frac{3\pi}{2}$ ($270^\circ$), то есть точки, лежащие на вертикальной оси, то название функции меняется на кофункцию: $\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$. (Мнемонически: мысленно проводим по вертикальной оси и киваем головой "да").
  Пример: $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) \rightarrow \cos(\alpha)$, $\cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \rightarrow \tan(\alpha)$.

Применение обоих правил на примере:

Найдем, чему равно $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$.

1. Определяем знак. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти. Исходная функция — косинус. Косинус в IV четверти положителен. Значит, у результата будет знак «+».
2. Определяем функцию. В формуле участвует угол $\frac{3\pi}{2}$, который лежит на вертикальной оси. Значит, функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$.

Соединяем результаты: $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = +\sin(\alpha) = \sin(\alpha)$.

Ответ:

При применении формул приведения следует руководствоваться алгоритмом из двух правил:

1. Правило знака: В правой части ставится тот знак, который имеет исходная функция в той четверти, в которой находится угол в левой части (при условии, что угол $\alpha$ — острый).

2. Правило функции: Название исходной функции сохраняется, если в ее аргументе содержатся углы $\pi$ или $2\pi$ (горизонтальная ось). Название функции меняется на кофункцию ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$), если в аргументе содержатся углы $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось).

22.1. Упростите выражение:

1) $\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$;

2) $\operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$;

3) $\sin(\pi - \alpha)$;

4) $\cos(-\alpha + 270^\circ)$;

5) $\cos(\alpha - 180^\circ)$;

6) $\cos^2(3\pi - \alpha)$;

7) $\operatorname{ctg}^2(90^\circ + \alpha)$;

8) $\cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$;

9) $\sin \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$.

1) $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $

Для упрощения используем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \frac{\pi}{2} $, функция $ \sin $ меняется на кофункцию, то есть на $ \cos $.
2. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ (если считать $ \alpha $ острым углом) находится в I четверти, где синус положителен.
Следовательно, $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $.
Ответ: $ \cos(\alpha) $

2) $ \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $

Применяем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \frac{3\pi}{2} $, функция $ \operatorname{tg} $ меняется на кофункцию, то есть на $ \operatorname{ctg} $.
2. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где тангенс положителен.
Следовательно, $ \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha) $.
Ответ: $ \operatorname{ctg}(\alpha) $

3) $ \sin(\pi - \alpha) $

Используем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \pi $, функция $ \sin $ не меняется.
2. Угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен.
Следовательно, $ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $

4) $ \cos(-\alpha + 270^\circ) $

Сначала преобразуем выражение. Используя четность косинуса ($ \cos(-x) = \cos(x) $), получаем $ \cos(-\alpha + 270^\circ) = \cos(270^\circ - \alpha) $. Переведем градусы в радианы: $ 270^\circ = \frac{3\pi}{2} $.
Получаем $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $. Теперь применяем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \frac{3\pi}{2} $, функция $ \cos $ меняется на кофункцию $ \sin $.
2. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где косинус отрицателен.
Следовательно, $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) $.
Ответ: $ -\sin(\alpha) $

5) $ \cos(\alpha - 180^\circ) $

Используем свойство четности косинуса: $ \cos(\alpha - 180^\circ) = \cos(-(180^\circ - \alpha)) = \cos(180^\circ - \alpha) $. Переведем градусы в радианы: $ 180^\circ = \pi $.
Получаем $ \cos(\pi - \alpha) $. Применяем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \pi $, функция $ \cos $ не меняется.
2. Угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен.
Следовательно, $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

6) $ \cos^2(3\pi - \alpha) $

Выражение можно записать как $ (\cos(3\pi - \alpha))^2 $. Сначала упростим $ \cos(3\pi - \alpha) $.
Учитывая периодичность косинуса, $ 3\pi = 2\pi + \pi $, поэтому $ \cos(3\pi - \alpha) = \cos(2\pi + \pi - \alpha) = \cos(\pi - \alpha) $.
По формуле приведения $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Тогда исходное выражение равно $ (-\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) $.
Ответ: $ \cos^2(\alpha) $

7) $ \operatorname{ctg}^2(90^\circ + \alpha) $

Выражение можно записать как $ (\operatorname{ctg}(90^\circ + \alpha))^2 $. Упростим $ \operatorname{ctg}(90^\circ + \alpha) $. В радианах $ 90^\circ = \frac{\pi}{2} $.
Применяем формулы приведения для $ \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) $.
1. Так как в аргументе содержится $ \frac{\pi}{2} $, функция $ \operatorname{ctg} $ меняется на $ \operatorname{tg} $.
2. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во II четверти, где котангенс отрицателен.
Значит, $ \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $.
Тогда исходное выражение равно $ (-\operatorname{tg}(\alpha))^2 = \operatorname{tg}^2(\alpha) $.
Ответ: $ \operatorname{tg}^2(\alpha) $

8) $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) $

Используем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \frac{\pi}{2} $, функция $ \cos $ меняется на $ \sin $.
2. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен.
Следовательно, $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $.
Ответ: $ -\sin(\alpha) $

9) $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $

Используем формулы приведения.
1. Так как в аргументе содержится $ \frac{3\pi}{2} $, функция $ \sin $ меняется на $ \cos $.
2. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где синус отрицателен.
Следовательно, $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

22.2. Упростите выражение:

1) $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$;

2) $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$;

3) $cos(\pi - \alpha)$;

4) $ctg(\alpha - 270^{\circ})$;

5) $sin(180^{\circ} + \alpha)$;

6) $sin^2(\frac{5\pi}{2} + \alpha)$.

1) Для упрощения выражения $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ используются формулы приведения. Так как в аргументе присутствует угол $\frac{3\pi}{2}$, который находится на вертикальной оси единичной окружности, тригонометрическая функция меняется на кофункцию, то есть косинус меняется на синус. Далее определяем знак. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ при малом положительном $\alpha$ находится в IV четверти, где косинус (изначальная функция) имеет знак «+». Следовательно, итоговое выражение будет со знаком «+». Таким образом, $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$.
Ответ: $sin(\alpha)$.

2) Для упрощения выражения $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ применяем формулы приведения. Угол $\frac{3\pi}{2}$ находится на вертикальной оси, поэтому функция меняется на кофункцию: котангенс на тангенс. Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в III четверти, где котангенс (изначальная функция) имеет знак «+». Поэтому знак итогового выражения также будет «+». В результате получаем: $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$.
Ответ: $tg(\alpha)$.

3) В выражении $cos(\pi - \alpha)$ используется угол $\pi$, который находится на горизонтальной оси. Это означает, что название функции не меняется. Угол $(\pi - \alpha)$ находится во II четверти, где косинус (изначальная функция) отрицателен. Значит, перед функцией нужно поставить знак «-». Получаем: $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.
Ответ: $-cos(\alpha)$.

4) Для упрощения $ctg(\alpha - 270^{\circ})$ сначала воспользуемся свойством нечетности котангенса: $ctg(-x) = -ctg(x)$. Вынесем минус за скобки в аргументе: $ctg(\alpha - 270^{\circ}) = ctg(-(270^{\circ} - \alpha)) = -ctg(270^{\circ} - \alpha)$. Теперь применим формулу приведения к $ctg(270^{\circ} - \alpha)$. Угол $270^{\circ}$ (что равно $\frac{3\pi}{2}$) находится на вертикальной оси, поэтому котангенс меняется на тангенс. Угол $(270^{\circ} - \alpha)$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Значит, $ctg(270^{\circ} - \alpha) = tg(\alpha)$. Подставляем обратно: $-ctg(270^{\circ} - \alpha) = -tg(\alpha)$.
Ответ: $-tg(\alpha)$.

5) Упростим $sin(180^{\circ} + \alpha)$ с помощью формул приведения. Угол $180^{\circ}$ (что равно $\pi$) находится на горизонтальной оси, поэтому функция синус не меняется. Угол $(180^{\circ} + \alpha)$ находится в III четверти, где синус (изначальная функция) отрицателен. Поэтому перед функцией ставится знак «-». Следовательно, $sin(180^{\circ} + \alpha) = -sin(\alpha)$.
Ответ: $-sin(\alpha)$.

6) Для упрощения выражения $sin^2(\frac{5\pi}{2} + \alpha)$ сначала преобразуем аргумент. Учитывая, что период синуса равен $2\pi$, мы можем вычесть этот период из аргумента: $\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi +

22.3. Замените значение тригонометрической функции значением функции острого угла:

1) $ \cos 123^\circ $;

2) $ \sin 216^\circ $;

3) $ \cos (-218^\circ) $;

4) $ \cos \frac{5\pi}{9} $.

1) cos 123°

Угол $123^\circ$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 123^\circ < 180^\circ$), где значения косинуса отрицательны. Для приведения к острому углу используем формулу приведения: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Представим угол $123^\circ$ в виде разности: $123^\circ = 180^\circ - 57^\circ$.

Применяя формулу, получаем: $\cos(123^\circ) = \cos(180^\circ - 57^\circ) = -\cos(57^\circ)$.

Угол $57^\circ$ является острым, так как $0^\circ < 57^\circ < 90^\circ$.

Ответ: $-\cos(57^\circ)$.

2) sin 216°

Угол $216^\circ$ находится в третьей координатной четверти ($180^\circ < 216^\circ < 270^\circ$), где значения синуса отрицательны. Для приведения к острому углу используем формулу приведения: $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

Представим угол $216^\circ$ в виде суммы: $216^\circ = 180^\circ + 36^\circ$.

Применяя формулу, получаем: $\sin(216^\circ) = \sin(180^\circ + 36^\circ) = -\sin(36^\circ)$.

Угол $36^\circ$ является острым, так как $0^\circ < 36^\circ < 90^\circ$.

Ответ: $-\sin(36^\circ)$.

3) cos (–218°)

Функция косинуса является четной, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Следовательно, $\cos(-218^\circ) = \cos(218^\circ)$.

Угол $218^\circ$ находится в третьей координатной четверти ($180^\circ < 218^\circ < 270^\circ$), где значения косинуса отрицательны. Для приведения к острому углу используем формулу приведения: $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Представим угол $218^\circ$ в виде суммы: $218^\circ = 180^\circ + 38^\circ$.

Применяя формулу, получаем: $\cos(218^\circ) = \cos(180^\circ + 38^\circ) = -\cos(38^\circ)$.

Угол $38^\circ$ является острым, так как $0^\circ < 38^\circ < 90^\circ$.

Ответ: $-\cos(38^\circ)$.

4) cos(5π/9)

Угол $\frac{5\pi}{9}$ находится во второй координатной четверти, поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi$ (в градусах это $100^\circ$). В этой четверти значения косинуса отрицательны. Для приведения к острому углу используем формулу приведения: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Представим угол $\frac{5\pi}{9}$ в виде разности: $\frac{5\pi}{9} = \pi - \frac{4\pi}{9}$.

Применяя формулу, получаем: $\cos(\frac{5\pi}{9}) = \cos(\pi - \frac{4\pi}{9}) = -\cos(\frac{4\pi}{9})$.

Угол $\frac{4\pi}{9}$ является острым, так как $0 < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$ (в градусах это $80^\circ$).

Ответ: $-\cos(\frac{4\pi}{9})$.

22.4. Замените значение тригонометрической функции значением функции острого угла:

1) $tg 124^\circ$;

2) $sin (-305^\circ)$;

3) $ctg (-0,7\pi)$;

4) $sin \frac{14\pi}{15}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулы приведения, чтобы выразить значения тригонометрических функций через функции острых углов (углов от $0^\circ$ до $90^\circ$ или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$).

1) Для того чтобы заменить значение $\operatorname{tg} \, 124^\circ$ значением функции острого угла, воспользуемся формулами приведения. Угол $124^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 124^\circ < 180^\circ$), где тангенс отрицателен.Представим угол $124^\circ$ в виде разности $180^\circ - 56^\circ$.

22.5. Вычислите:

1) $\cos 225^\circ$;

2) $\sin 240^\circ$;

3) $\cos \frac{5\pi}{4}$;

4) $\cos \left(-\frac{4\pi}{3}\right)$.

1) Для вычисления $ \cos 225^\circ $ воспользуемся формулами приведения. Угол $ 225^\circ $ находится в третьей координатной четверти ($ 180^\circ < 225^\circ < 270^\circ $), где косинус имеет отрицательное значение. Представим угол $ 225^\circ $ в виде суммы $ 180^\circ + 45^\circ $.

Согласно формуле приведения $ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha $, получаем:

$ \cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ $.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, $ \cos 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

2) Для вычисления $ \sin 240^\circ $ используем формулы приведения. Угол $ 240^\circ $ находится в третьей координатной четверти ($ 180^\circ < 240^\circ < 270^\circ $), где синус имеет отрицательное значение. Представим угол $ 240^\circ $ в виде суммы $ 180^\circ + 60^\circ $.

Согласно формуле приведения $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha $, получаем:

$ \sin 240^\circ = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ $.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Таким образом, $ \sin 240^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $

3) Для вычисления $ \cos \frac{5\pi}{4} $ используем формулы приведения для углов, заданных в радианах. Угол $ \frac{5\pi}{4} $ находится в третьей координатной четверти ($ \pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} $), где косинус отрицателен. Представим угол $ \frac{5\pi}{4} $ в виде суммы $ \pi + \frac{\pi}{4} $.

Согласно формуле приведения $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha $, получаем:

$ \cos \frac{5\pi}{4} = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} $.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, $ \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

4) Для вычисления $ \cos\left(-\frac{4\pi}{3}\right) $ воспользуемся свойством четности функции косинус. Функция $ y = \cos x $ является четной, поэтому для любого угла $ \alpha $ справедливо равенство $ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $.

$ \cos\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) $.

Далее вычислим $ \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) $. Угол $ \frac{4\pi}{3} $ находится в третьей координатной четверти ($ \pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} $), где косинус отрицателен. Представим угол $ \frac{4\pi}{3} $ в виде суммы $ \pi + \frac{\pi}{3} $.

Согласно формуле приведения $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha $, получаем:

$ \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\cos \frac{\pi}{3} $.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.

Таким образом, $ \cos\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

22.6. Вычислите:

1) $\operatorname{tg} 210^{\circ}$;

2) $\operatorname{ctg} 315^{\circ}$;

3) $\cos (-150^{\circ})$;

4) $\sin \left(-\frac{5\pi}{3}\right)$.

1) Для вычисления $tg(210^\circ)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $210^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$), где тангенс имеет положительный знак. Представим угол $210^\circ$ в виде суммы $180^\circ + 30^\circ$.
Согласно формуле приведения $tg(180^\circ + \alpha) = tg(\alpha)$, получаем:
$tg(210^\circ) = tg(180^\circ + 30^\circ) = tg(30^\circ)$.
Значение тангенса $30^\circ$ является табличным значением: $tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Для вычисления $ctg(315^\circ)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $315^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$), где котангенс имеет отрицательный знак. Представим угол $315^\circ$ в виде разности $360^\circ - 45^\circ$.
Согласно формуле приведения $ctg(360^\circ - \alpha) = -ctg(\alpha)$, получаем:
$ctg(315^\circ) = ctg(360^\circ - 45^\circ) = -ctg(45^\circ)$.
Значение котангенса $45^\circ$ является табличным значением: $ctg(45^\circ) = 1$.
Следовательно, $ctg(315^\circ) = -1$.
Ответ: $-1$.

3) Для вычисления $cos(-150^\circ)$ используем свойство четности функции косинус. Функция косинус является четной, что означает $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$ для любого угла $\alpha$.
$cos(-150^\circ) = cos(150^\circ)$.
Теперь для $cos(150^\circ)$ применим формулу приведения. Угол $150^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$), где косинус отрицателен. Представим $150^\circ$ как разность $180^\circ - 30^\circ$.
Согласно формуле приведения $cos(180^\circ - \alpha) = -cos(\alpha)$, получаем:
$cos(150^\circ) = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos(30^\circ)$.
Значение косинуса $30^\circ$ является табличным значением: $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $cos(-150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Для вычисления $sin(-\frac{5\pi}{3})$ используем свойство нечетности функции синус. Функция синус является нечетной, что означает $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$ для любого угла $\alpha$.
$sin(-\frac{5\pi}{3}) = -sin(\frac{5\pi}{3})$.
Теперь упростим выражение $sin(\frac{5\pi}{3})$, используя периодичность тригонометрических функций. Представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как $2\pi - \frac{\pi}{3}$.
Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен.
Согласно формуле приведения $sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$, получаем:
$sin(\frac{5\pi}{3}) = sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3})$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$sin(-\frac{5\pi}{3}) = -sin(\frac{5\pi}{3}) = -(-sin(\frac{\pi}{3})) = sin(\frac{\pi}{3})$.
Значение синуса $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует $60^\circ$) является табличным: $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

22.7. Вычислите:

1) $\frac{\sin^2 315^\circ \cos 300^\circ + \operatorname{tg}(-315^\circ)}{\sin(-120^\circ) \cos 150^\circ}$;

2) $\sin \frac{5\pi}{4} \cos \frac{5\pi}{6} \operatorname{tg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \operatorname{ctg}\frac{4\pi}{3}$;

3) $\frac{\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 160^\circ \cos 100^\circ}{\sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 159^\circ \cos 99^\circ}$;

4) $\frac{\cos 66^\circ \cos 6^\circ + \cos 84^\circ \cos 24^\circ}{\cos 65^\circ \cos 5^\circ + \cos 85^\circ \cos 25^\circ}$.

1) $ \frac{\sin^2 315^\circ \cos 300^\circ + \operatorname{tg}(-315^\circ)}{\sin(-120^\circ) \cos 150^\circ} $

Для решения этой задачи необходимо вычислить значение каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения и свойства четности/нечетности функций.

Вычислим значения для числителя:

$ \sin 315^\circ = \sin(360^\circ - 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin^2 315^\circ = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ \cos 300^\circ = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $

Функция тангенс является нечетной, поэтому $ \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x) $.

$ \operatorname{tg}(-315^\circ) = -\operatorname{tg}(315^\circ) = -\operatorname{tg}(360^\circ - 45^\circ) = -(-\operatorname{tg} 45^\circ) = \operatorname{tg} 45^\circ = 1 $

Теперь подставим найденные значения в числитель:

$ \sin^2 315^\circ \cos 300^\circ + \operatorname{tg}(-315^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} $

Вычислим значения для знаменателя:

Функция синус является нечетной, поэтому $ \sin(-x) = -\sin(x) $.

$ \sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь подставим найденные значения в знаменатель:

$ \sin(-120^\circ) \cos 150^\circ = (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{4} $

Найдем значение всего выражения:

$ \frac{5/4}{3/4} = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5}{3} $

Ответ: $ \frac{5}{3} $

2) $ \sin \frac{5\pi}{4} \cos \frac{5\pi}{6} \operatorname{tg}(-\frac{2\pi}{3}) \operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3} $

Для решения необходимо вычислить значение каждого множителя, используя формулы приведения.

$ \sin \frac{5\pi}{4} = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos \frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Функция тангенс является нечетной, поэтому $ \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x) $.

$ \operatorname{tg}(-\frac{2\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(\frac{2\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $

$ \operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3} = \operatorname{ctg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Теперь перемножим все полученные значения:

$ (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{6}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{4} $

3) $ \frac{\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 160^\circ \cos 100^\circ}{\sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 159^\circ \cos 99^\circ} $

Преобразуем числитель, используя формулы приведения:

$ \cos 160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ $

$ \cos 100^\circ = \cos(90^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ $

Подставим эти значения в числитель:

$ \sin 20^\circ \cos 10^\circ + (-\cos 20^\circ)(-\sin 10^\circ) = \sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ $

Это выражение соответствует формуле синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Таким образом, числитель равен:

$ \sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $

Теперь преобразуем знаменатель, также используя формулы приведения:

$ \cos 159^\circ = \cos(180^\circ - 21^\circ) = -\cos 21^\circ $

$ \cos 99^\circ = \cos(90^\circ + 9^\circ) = -\sin 9^\circ $

Подставим эти значения в знаменатель:

$ \sin 21^\circ \cos 9^\circ + (-\cos 21^\circ)(-\sin 9^\circ) = \sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 21^\circ \sin 9^\circ $

Это также формула синуса суммы.

Таким образом, знаменатель равен:

$ \sin(21^\circ + 9^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $

Найдем значение дроби:

$ \frac{1/2}{1/2} = 1 $

Ответ: $1$

4) $ \frac{\cos 66^\circ \cos 6^\circ + \cos 84^\circ \cos 24^\circ}{\cos 65^\circ \cos 5^\circ + \cos 85^\circ \cos 25^\circ} $

Преобразуем числитель, используя формулы приведения для косинуса $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha $:

$ \cos 84^\circ = \cos(90^\circ - 6^\circ) = \sin 6^\circ $

$ \cos 24^\circ = \cos(90^\circ - 66^\circ) = \sin 66^\circ $

Подставим эти значения в числитель:

$ \cos 66^\circ \cos 6^\circ + \sin 6^\circ \sin 66^\circ $

Это выражение соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Таким образом, числитель равен:

$ \cos(66^\circ - 6^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $

Теперь преобразуем знаменатель, используя те же формулы приведения:

$ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $

$ \cos 25^\circ = \cos(90^\circ - 65^\circ) = \sin 65^\circ $

Подставим эти значения в знаменатель:

$ \cos 65^\circ \cos 5^\circ + \sin 5^\circ \sin 65^\circ $

Это также формула косинуса разности.

Таким образом, знаменатель равен:

$ \cos(65^\circ - 5^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $

Найдем значение дроби:

$ \frac{1/2}{1/2} = 1 $

Ответ: $1$