Страница 160 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.6. Известно, что $tg\alpha = 3$, $tg\beta = 5$. Найдите значение выражения $tg(\alpha - \beta)$.

21.6. Для нахождения значения выражения $\tg(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \cdot \tg \beta}$

Из условия задачи нам известны значения $\tg \alpha = 3$ и $\tg \beta = 5$. Подставим эти значения в формулу:

$\tg(\alpha - \beta) = \frac{3 - 5}{1 + 3 \cdot 5} = \frac{-2}{1 + 15} = \frac{-2}{16}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

21.7. Упростите выражение:

1) $ \frac{\text{tg}13^{\circ} + \text{tg}47^{\circ}}{1 - \text{tg}13^{\circ}\text{tg}47^{\circ}} $

2) $ \frac{\text{tg}1^{\circ} - \text{tg}46^{\circ}}{1 + \text{tg}1^{\circ}\text{tg}46^{\circ}} $

3) $ \frac{1 - \text{tg}27^{\circ}\text{tg}33^{\circ}}{\text{tg}27^{\circ} + \text{tg}33^{\circ}} $

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$

В нашем случае $\alpha = 13^\circ$ и $\beta = 47^\circ$.

Подставим эти значения в формулу:

$\frac{\text{tg}13^\circ + \text{tg}47^\circ}{1 - \text{tg}13^\circ \text{tg}47^\circ} = \text{tg}(13^\circ + 47^\circ) = \text{tg}(60^\circ)$

Значение тангенса 60 градусов является табличным:

$\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

2) Для этого выражения применим формулу тангенса разности двух углов:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$

В данном выражении $\alpha = 1^\circ$ и $\beta = 46^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{\text{tg}1^\circ - \text{tg}46^\circ}{1 + \text{tg}1^\circ \text{tg}46^\circ} = \text{tg}(1^\circ - 46^\circ) = \text{tg}(-45^\circ)$

Тангенс является нечетной функцией, поэтому $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$.

$\text{tg}(-45^\circ) = -\text{tg}(45^\circ)$

Табличное значение тангенса 45 градусов равно 1.

$-\text{tg}(45^\circ) = -1$

Ответ: -1

3) Данное выражение является обратным к выражению для тангенса суммы. Формула тангенса суммы углов $\alpha$ и $\beta$ имеет вид:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$

Заметим, что исходное выражение — это перевернутая дробь из формулы. То есть:

$\frac{1 - \text{tg}27^\circ \text{tg}33^\circ}{\text{tg}27^\circ + \text{tg}33^\circ} = \frac{1}{\frac{\text{tg}27^\circ + \text{tg}33^\circ}{1 - \text{tg}27^\circ \text{tg}33^\circ}} = \frac{1}{\text{tg}(27^\circ + 33^\circ)}$

Выражение $\frac{1}{\text{tg}x}$ равно $\text{ctg}x$.

Следовательно, получаем:

$\frac{1}{\text{tg}(27^\circ + 33^\circ)} = \frac{1}{\text{tg}(60^\circ)} = \text{ctg}(60^\circ)$

Значение котангенса 60 градусов является табличным:

$\text{ctg}(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

21.8. Упростите выражение:

1) $\frac{\operatorname{tg} 24^{\circ}+\operatorname{tg} 36^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 24^{\circ} \operatorname{tg} 36^{\circ}};$

2) $\frac{\operatorname{tg} 5 \alpha-\operatorname{tg} 3 \alpha}{1+\operatorname{tg} 5 \alpha \operatorname{tg} 3 \alpha}.$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$

В нашем случае, $\alpha = 24^\circ$ и $\beta = 36^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$\frac{\text{tg}24^\circ + \text{tg}36^\circ}{1 - \text{tg}24^\circ \text{tg}36^\circ} = \text{tg}(24^\circ + 36^\circ)$

Сложим углы:

$24^\circ + 36^\circ = 60^\circ$

Таким образом, выражение равно $\text{tg}(60^\circ)$.

Значение тангенса 60 градусов является табличным:

$\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$.

2) Для упрощения этого выражения используем формулу тангенса разности двух углов:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$

В данном выражении $\alpha$ в формуле соответствует $5\alpha$ в задаче, а $\beta$ в формуле соответствует $3\alpha$ в задаче. Применим формулу:

$\frac{\text{tg}5\alpha - \text{tg}3\alpha}{1 + \text{tg}5\alpha \text{tg}3\alpha} = \text{tg}(5\alpha - 3\alpha)$

Выполним вычитание в аргументе тангенса:

$5\alpha - 3\alpha = 2\alpha$

Следовательно, исходное выражение упрощается до $\text{tg}(2\alpha)$.

Ответ: $\text{tg}(2\alpha)$.

21.9. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos(\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin \beta}{\cos(\alpha - \beta) - \sin \alpha \sin \beta} = 1;$

2) $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2\cos(45^{\circ} + \alpha)}{2\sin(45^{\circ} + \alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha} = \operatorname{tg} \alpha;$

3) $\frac{\sin(45^{\circ} + \alpha) - \cos(45^{\circ} + \alpha)}{\sin(45^{\circ} + \alpha) + \cos(45^{\circ} + \alpha)} = \operatorname{tg} \alpha;$

4) $\frac{\sin \alpha + 2\sin(60^{\circ} - \alpha)}{2\cos(30^{\circ} - \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} = \sqrt{3} \operatorname{ctg} \alpha.$

1)Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Воспользуемся формулами косинуса суммы и косинуса разности:
$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$
$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$\frac{cos(\alpha + \beta) + sin\alpha sin\beta}{cos(\alpha - \beta) - sin\alpha sin\beta} = \frac{(cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta) + sin\alpha sin\beta}{(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) - sin\alpha sin\beta}$
Упростим числитель и знаменатель, сократив подобные слагаемые:
$\frac{cos\alpha cos\beta}{cos\alpha cos\beta} = 1$
Поскольку левая часть равна $1$, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2)Преобразуем левую часть тождества: $\frac{\sqrt{2} cos\alpha - 2cos(45^\circ + \alpha)}{2sin(45^\circ + \alpha) - \sqrt{2} sin\alpha}$.
Используем формулы синуса и косинуса суммы, а также значения тригонометрических функций для угла $45^\circ$: $sin(45^\circ) = cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$cos(45^\circ + \alpha) = cos(45^\circ)cos\alpha - sin(45^\circ)sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha - sin\alpha)$.
$sin(45^\circ + \alpha) = sin(45^\circ)cos\alpha + cos(45^\circ)sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha)$.
Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства.
Преобразуем числитель:
$\sqrt{2} cos\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha - sin\alpha) = \sqrt{2} cos\alpha - \sqrt{2}(cos\alpha - sin\alpha) = \sqrt{2} cos\alpha - \sqrt{2} cos\alpha + \sqrt{2} sin\alpha = \sqrt{2} sin\alpha$.
Преобразуем знаменатель:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha) - \sqrt{2} sin\alpha = \sqrt{2}(cos\alpha + sin\alpha) - \sqrt{2} sin\alpha = \sqrt{2} cos\alpha + \sqrt{2} sin\alpha - \sqrt{2} sin\alpha = \sqrt{2} cos\alpha$.
Получаем дробь:
$\frac{\sqrt{2} sin\alpha}{\sqrt{2} cos\alpha} = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = tg\alpha$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3)Преобразуем левую часть тождества: $\frac{sin(45^\circ + \alpha) - cos(45^\circ + \alpha)}{sin(45^\circ + \alpha) + cos(45^\circ + \alpha)}$.
Используем формулы синуса и косинуса суммы и значения тригонометрических функций для угла $45^\circ$: $sin(45^\circ) = cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$sin(45^\circ + \alpha) = sin(45^\circ)cos\alpha + cos(45^\circ)sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha)$.
$cos(45^\circ + \alpha) = cos(45^\circ)cos\alpha - sin(45^\circ)sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha - sin\alpha)$.
Подставим эти выражения в числитель и знаменатель.
Числитель:
$\frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha - sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha - cos\alpha + sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2sin\alpha) = \sqrt{2}sin\alpha$.
Знаменатель:
$\frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha - sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha + cos\alpha - sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2cos\alpha) = \sqrt{2}cos\alpha$.
Получаем дробь:
$\frac{\sqrt{2}sin\alpha}{\sqrt{2}cos\alpha} = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = tg\alpha$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

4)Преобразуем левую часть тождества: $\frac{sin\alpha + 2sin(60^\circ - \alpha)}{2cos(30^\circ - \alpha) - \sqrt{3}cos\alpha}$.
Используем формулы синуса и косинуса разности, а также значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $60^\circ$:
$sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
$cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
Раскроем выражения в числителе и знаменателе:
$sin(60^\circ - \alpha) = sin(60^\circ)cos\alpha - cos(60^\circ)sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha - \frac{1}{2}sin\alpha$.
$cos(30^\circ - \alpha) = cos(30^\circ)cos\alpha + sin(30^\circ)sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha + \frac{1}{2}sin\alpha$.
Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства.
Преобразуем числитель:
$sin\alpha + 2(\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha - \frac{1}{2}sin\alpha) = sin\alpha + \sqrt{3}cos\alpha - sin\alpha = \sqrt{3}cos\alpha$.
Преобразуем знаменатель:
$2(\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha + \frac{1}{2}sin\alpha) - \sqrt{3}cos\alpha = \sqrt{3}cos\alpha + sin\alpha - \sqrt{3}cos\alpha = sin\alpha$.
Получаем дробь:
$\frac{\sqrt{3}cos\alpha}{sin\alpha} = \sqrt{3} \cdot \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \sqrt{3} ctg\alpha$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

21.10. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin \beta \cos \alpha}{\sin(\alpha - \beta) + \sin \beta \cos \alpha} = 1;$

2) $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \sin(45^{\circ} - \alpha)}{2 \sin(60^{\circ} + \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} = \sqrt{2};$

3) $\frac{2 \sin \alpha \cos \beta - \sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} = \operatorname{tg}(\alpha + \beta).$

1)

Докажем тождество $ \frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin\beta \cos\alpha}{\sin(\alpha - \beta) + \sin\beta \cos\alpha} = 1 $.

Для этого преобразуем левую часть равенства, используя формулы синуса суммы и синуса разности:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби:

$ \frac{(\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) - \sin\beta \cos\alpha}{(\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) + \sin\beta \cos\alpha} $

Упростим числитель:

$ \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta - \cos\alpha \sin\beta = \sin\alpha \cos\beta $

Упростим знаменатель:

$ \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta + \cos\alpha \sin\beta = \sin\alpha \cos\beta $

Получаем дробь:

$ \frac{\sin\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \cos\beta} = 1 $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество $ \frac{\sqrt{2} \cos\alpha - 2 \sin(45^\circ - \alpha)}{2 \sin(60^\circ + \alpha) - \sqrt{3} \cos\alpha} = \sqrt{2} $.

Преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя формулы синуса разности и синуса суммы, а также значения тригонометрических функций для углов $45^\circ$ и $60^\circ$ ($ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $).

Преобразуем числитель:

$ \sqrt{2} \cos\alpha - 2 \sin(45^\circ - \alpha) = \sqrt{2} \cos\alpha - 2(\sin 45^\circ \cos\alpha - \cos 45^\circ \sin\alpha) $

$ = \sqrt{2} \cos\alpha - 2(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha) $

$ = \sqrt{2} \cos\alpha - (\sqrt{2} \cos\alpha - \sqrt{2} \sin\alpha) $

$ = \sqrt{2} \cos\alpha - \sqrt{2} \cos\alpha + \sqrt{2} \sin\alpha = \sqrt{2} \sin\alpha $

Преобразуем знаменатель:

$ 2 \sin(60^\circ + \alpha) - \sqrt{3} \cos\alpha = 2(\sin 60^\circ \cos\alpha + \cos 60^\circ \sin\alpha) - \sqrt{3} \cos\alpha $

$ = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha + \frac{1}{2} \sin\alpha) - \sqrt{3} \cos\alpha $

$ = (\sqrt{3} \cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{3} \cos\alpha $

$ = \sqrt{3} \cos\alpha + \sin\alpha - \sqrt{3} \cos\alpha = \sin\alpha $

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\sqrt{2} \sin\alpha}{\sin\alpha} = \sqrt{2} $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Докажем тождество $ \frac{2 \sin\alpha \cos\beta - \sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta} = \text{tg}(\alpha + \beta) $.

Рассмотрим знаменатель дроби. Он представляет собой формулу косинуса суммы:

$ \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha + \beta) $

Теперь преобразуем числитель, используя формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $:

$ 2 \sin\alpha \cos\beta - \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin\alpha \cos\beta - (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) $

$ = 2 \sin\alpha \cos\beta - \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $

$ = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $

Полученное выражение является формулой синуса суммы:

$ \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = \sin(\alpha + \beta) $

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} $

По определению тангенса $ \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $, поэтому:

$ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \text{tg}(\alpha + \beta) $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

21.11. Дано: $\sin\alpha = \frac{9}{41}$, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите $\sin(\alpha + 45^\circ)$.

Для того чтобы найти значение $\sin(\alpha + 45^\circ)$, воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

В нашем случае $\beta = 45^\circ$. Подставляем это значение в формулу:

$\sin(\alpha + 45^\circ) = \sin\alpha \cos45^\circ + \cos\alpha \sin45^\circ$

Мы знаем табличные значения синуса и косинуса для угла $45^\circ$:

$\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

По условию нам дано значение $\sin\alpha = \frac{9}{41}$. Теперь необходимо найти значение $\cos\alpha$. Для этого используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Выразим из него $\cos^2\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

Подставим известное значение $\sin\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{9}{41})^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681}$

Теперь извлечем корень, чтобы найти $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm\frac{40}{41}$

Чтобы определить знак косинуса, обратимся к условию $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Этот интервал соответствует второй четверти координатной плоскости. Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения, следовательно, мы выбираем знак «минус»:

$\cos\alpha = -\frac{40}{41}$

Теперь у нас есть все необходимые значения для подстановки в формулу синуса суммы:

$\sin(\alpha + 45^\circ) = \sin\alpha \cos45^\circ + \cos\alpha \sin45^\circ = \frac{9}{41} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{40}{41}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Выполним вычисления:

$\sin(\alpha + 45^\circ) = \frac{9\sqrt{2}}{82} - \frac{40\sqrt{2}}{82} = \frac{9\sqrt{2} - 40\sqrt{2}}{82} = \frac{(9 - 40)\sqrt{2}}{82} = \frac{-31\sqrt{2}}{82}$

Ответ: $-\frac{31\sqrt{2}}{82}$

21.12. Дано: $\cos\alpha = -0.6$, $180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}$. Найдите $\cos(60^{\circ} - \alpha)$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:

$cos(A - B) = cosA \cdot cosB + sinA \cdot sinB$

В нашем случае $A = 60°$ и $B = α$. Таким образом, формула принимает вид:

$cos(60° - α) = cos(60°) \cdot cos(α) + sin(60°) \cdot sin(α)$

Нам даны следующие значения:

• $cos(α) = -0,6$
• Угол $α$ находится в диапазоне $180° < α < 270°$, что соответствует третьей координатной четверти.

Значения тригонометрических функций для угла $60°$ являются стандартными:

• $cos(60°) = \frac{1}{2}$
• $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь нам необходимо найти значение $sin(α)$. Для этого используем основное тригонометрическое тождество:

$sin^2(α) + cos^2(α) = 1$

Выразим из него $sin^2(α)$:

$sin^2(α) = 1 - cos^2(α)$

Подставим известное значение $cos(α) = -0,6$:

$sin^2(α) = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

Отсюда $sin(α)$ может быть равен $\sqrt{0,64} = 0,8$ или $-\sqrt{0,64} = -0,8$.

Поскольку угол $α$ находится в третьей четверти ($180° < α < 270°$), значение синуса для этого угла будет отрицательным. Следовательно, мы выбираем:

$sin(α) = -0,8$

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для вычисления $cos(60° - α)$. Подставим их в формулу:

$cos(60° - α) = cos(60°) \cdot cos(α) + sin(60°) \cdot sin(α) = \frac{1}{2} \cdot (-0,6) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-0,8)$

Выполним вычисления:

$cos(60° - α) = -0,3 - 0,4\sqrt{3}$

Для более точного представления можно использовать обыкновенные дроби: $-0,6 = -\frac{3}{5}$ и $-0,8 = -\frac{4}{5}$.

$cos(60° - α) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{10} - \frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{-3 - 4\sqrt{3}}{10}$

Ответ: $\frac{-3 - 4\sqrt{3}}{10}$

$\cos(\alpha + \beta)$, если $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\cos \beta = -\frac{4}{5}$,

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

Чтобы найти $ \cos(\alpha + \beta) $, воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $

По условию задачи нам даны $ \cos \alpha = \frac{3}{5} $ и $ \cos \beta = -\frac{4}{5} $. Для вычисления нам необходимо найти $ \sin \alpha $ и $ \sin \beta $.

Найдем $ \sin \alpha $, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Известно, что $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, что соответствует I четверти. В этой четверти синус положителен, поэтому:

$ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25-9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $

Теперь найдем $ \sin \beta $. Известно, что $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $, что соответствует II четверти. В этой четверти синус также положителен:

$ \sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - (-\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25-16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, подставим их в формулу косинуса суммы:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = (\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{4}{5}) - (\frac{4}{5}) \cdot (\frac{3}{5}) = -\frac{12}{25} - \frac{12}{25} = -\frac{24}{25} $

Ответ: $ -\frac{24}{25} $

21.14. Найдите $\sin (\alpha - \beta)$, если $\sin \alpha = -\frac{15}{17}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ и $\cos \beta = \frac{7}{25}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$.

Для нахождения значения выражения $sin(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой синуса разности двух углов:
$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

Из условия задачи нам известны значения $sin(\alpha) = -\frac{15}{17}$ и $cos(\beta) = \frac{7}{25}$. Для вычисления нам необходимо найти $cos(\alpha)$ и $sin(\beta)$.

Найдем $cos(\alpha)$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.
$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - \left(-\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$.
Следовательно, $cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17}$.
Поскольку по условию угол $\alpha$ принадлежит интервалу $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти, его косинус имеет отрицательное значение. Таким образом, $cos(\alpha) = -\frac{8}{17}$.

Теперь найдем $sin(\beta)$, также используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\beta) + cos^2(\beta) = 1$.
$sin^2(\beta) = 1 - cos^2(\beta) = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.
Следовательно, $sin(\beta) = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$.
Поскольку угол $\beta$ принадлежит интервалу $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$, что соответствует четвертой координатной четверти, его синус имеет отрицательное значение. Таким образом, $sin(\beta) = -\frac{24}{25}$.

Наконец, подставим все известные и найденные значения в формулу синуса разности:
$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta) = \left(-\frac{15}{17}\right) \cdot \left(\frac{7}{25}\right) - \left(-\frac{8}{17}\right) \cdot \left(-\frac{24}{25}\right)$.
$sin(\alpha - \beta) = -\frac{15 \cdot 7}{17 \cdot 25} - \frac{8 \cdot 24}{17 \cdot 25} = -\frac{105}{425} - \frac{192}{425} = \frac{-105 - 192}{425} = -\frac{297}{425}$.

Ответ: $-\frac{297}{425}$

21.15. Дано: $tg \alpha = \frac{1}{2}$, $sin \beta = \frac{3}{5}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Найдите $tg(\alpha + \beta)$.

Для решения задачи нам понадобится формула тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta}$

По условию, нам дано значение $\text{tg} \alpha = \frac{1}{2}$. Чтобы использовать формулу, нам необходимо найти значение $\text{tg} \beta$.

Нам известно, что $\sin \beta = \frac{3}{5}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Это означает, что угол $\beta$ находится в первой координатной четверти, где все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) имеют положительные значения.

1. Найдем $\cos \beta$, используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$.

$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$

$\cos^2 \beta = 1 - (\frac{3}{5})^2 =

21.16. Известно, что $tg \alpha = \frac{2}{3}$. Найдите $tg(45^\circ + \alpha)$.

Для нахождения значения $ \tg(45^\circ + \alpha) $ воспользуемся тригонометрической формулой тангенса суммы двух углов:

$ \tg(x + y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y} $

В нашем случае $ x = 45^\circ $ и $ y = \alpha $. Применим формулу к нашему выражению:

$ \tg(45^\circ + \alpha) = \frac{\tg 45^\circ + \tg \alpha}{1 - \tg 45^\circ \tg \alpha} $

Известно, что значение тангенса угла $ 45^\circ $ равно 1, то есть $ \tg 45^\circ = 1 $.

По условию задачи нам дано значение $ \tg \alpha = \frac{2}{3} $.

Теперь подставим известные числовые значения в формулу:

$ \tg(45^\circ + \alpha) = \frac{1 + \frac{2}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{2}{3}} $

Выполним арифметические действия. Сначала упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $ 1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} $

Знаменатель: $ 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \tg(45^\circ + \alpha) = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{1} = 5 $

Ответ: 5