Номер 21.10, страница 160 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.10. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin \beta \cos \alpha}{\sin(\alpha - \beta) + \sin \beta \cos \alpha} = 1;$

2) $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \sin(45^{\circ} - \alpha)}{2 \sin(60^{\circ} + \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} = \sqrt{2};$

3) $\frac{2 \sin \alpha \cos \beta - \sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} = \operatorname{tg}(\alpha + \beta).$

1)

Докажем тождество $ \frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin\beta \cos\alpha}{\sin(\alpha - \beta) + \sin\beta \cos\alpha} = 1 $.

Для этого преобразуем левую часть равенства, используя формулы синуса суммы и синуса разности:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби:

$ \frac{(\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) - \sin\beta \cos\alpha}{(\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) + \sin\beta \cos\alpha} $

Упростим числитель:

$ \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta - \cos\alpha \sin\beta = \sin\alpha \cos\beta $

Упростим знаменатель:

$ \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta + \cos\alpha \sin\beta = \sin\alpha \cos\beta $

Получаем дробь:

$ \frac{\sin\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \cos\beta} = 1 $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество $ \frac{\sqrt{2} \cos\alpha - 2 \sin(45^\circ - \alpha)}{2 \sin(60^\circ + \alpha) - \sqrt{3} \cos\alpha} = \sqrt{2} $.

Преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя формулы синуса разности и синуса суммы, а также значения тригонометрических функций для углов $45^\circ$ и $60^\circ$ ($ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $).

Преобразуем числитель:

$ \sqrt{2} \cos\alpha - 2 \sin(45^\circ - \alpha) = \sqrt{2} \cos\alpha - 2(\sin 45^\circ \cos\alpha - \cos 45^\circ \sin\alpha) $

$ = \sqrt{2} \cos\alpha - 2(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha) $

$ = \sqrt{2} \cos\alpha - (\sqrt{2} \cos\alpha - \sqrt{2} \sin\alpha) $

$ = \sqrt{2} \cos\alpha - \sqrt{2} \cos\alpha + \sqrt{2} \sin\alpha = \sqrt{2} \sin\alpha $

Преобразуем знаменатель:

$ 2 \sin(60^\circ + \alpha) - \sqrt{3} \cos\alpha = 2(\sin 60^\circ \cos\alpha + \cos 60^\circ \sin\alpha) - \sqrt{3} \cos\alpha $

$ = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha + \frac{1}{2} \sin\alpha) - \sqrt{3} \cos\alpha $

$ = (\sqrt{3} \cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{3} \cos\alpha $

$ = \sqrt{3} \cos\alpha + \sin\alpha - \sqrt{3} \cos\alpha = \sin\alpha $

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\sqrt{2} \sin\alpha}{\sin\alpha} = \sqrt{2} $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Докажем тождество $ \frac{2 \sin\alpha \cos\beta - \sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta} = \text{tg}(\alpha + \beta) $.

Рассмотрим знаменатель дроби. Он представляет собой формулу косинуса суммы:

$ \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha + \beta) $

Теперь преобразуем числитель, используя формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $:

$ 2 \sin\alpha \cos\beta - \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin\alpha \cos\beta - (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) $

$ = 2 \sin\alpha \cos\beta - \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $

$ = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $

Полученное выражение является формулой синуса суммы:

$ \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = \sin(\alpha + \beta) $

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} $

По определению тангенса $ \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $, поэтому:

$ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \text{tg}(\alpha + \beta) $

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.