Номер 21.15, страница 160 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.15. Дано: $tg \alpha = \frac{1}{2}$, $sin \beta = \frac{3}{5}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Найдите $tg(\alpha + \beta)$.

Нам уже известно значение $tg \alpha = 1/2$. Чтобы воспользоваться формулой, необходимо найти $tg \beta$.

1. Нахождение $tg \beta$

Мы знаем, что $tg \beta = \frac{sin \beta}{cos \beta}$. Сначала найдем $cos \beta$, используя основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \beta + cos^2 \beta = 1$.

$cos^2 \beta = 1 - sin^2 \beta = 1 - (3/5)^2 = 1 - 9/25 = 16/25$.

Так как по условию $0 < \beta < \pi/2$ (это первая четверть), косинус в этой четверти положителен:
$cos \beta = \sqrt{16/25} = 4/5$.

Теперь вычислим тангенс:
$tg \beta = \frac{3/5}{4/5} = 3/4$.

2. Вычисление $tg(\alpha + \beta)$

Подставим все известные значения в формулу тангенса суммы:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{1/2 + 3/4}{1 - 1/2 \cdot 3/4}$

Вычислим числитель:
$1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4$.

Вычислим знаменатель:
$1 - 3/8 = 5/8$.

Найдем итоговое значение:
$tg(\alpha + \beta) = \frac{5/4}{5/8} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2