Номер 21.22, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.22. Упростите выражение:

1) $ \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \tan \alpha $

2) $ \cos 4\alpha - \sin 4\alpha \cot 2\alpha $

1) $ \cos(2\alpha) + \sin(2\alpha)\text{tg}(\alpha) $

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими формулами двойного угла и определением тангенса.

Вспомним формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.

А также определение тангенса: $ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$ \cos(2\alpha) + (2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $

Сократим $ \cos(\alpha) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \cos(\alpha) \neq 0 $, что является областью определения для $ \text{tg}(\alpha) $):

$ \cos(2\alpha) + 2\sin(\alpha)\sin(\alpha) = \cos(2\alpha) + 2\sin^2(\alpha) $

Теперь применим одну из формул косинуса двойного угла, а именно $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) $. Подставим ее в полученное выражение:

$ (1 - 2\sin^2(\alpha)) + 2\sin^2(\alpha) $

Слагаемые $ -2\sin^2(\alpha) $ и $ 2\sin^2(\alpha) $ взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$ 1 $

Ответ: $ 1 $

2) $ \cos(4\alpha) - \sin(4\alpha)\text{ctg}(2\alpha) $

Для упрощения этого выражения будем использовать формулы для угла $ 4\alpha $, рассматривая его как $ 2 \cdot (2\alpha) $, а также определение котангенса.

Формула синуса двойного угла для $ \sin(4\alpha) $: $ \sin(4\alpha) = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $.

Определение котангенса для $ \text{ctg}(2\alpha) $: $ \text{ctg}(2\alpha) = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} $.

Подставим эти выражения в исходное:

$ \cos(4\alpha) - (2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)) \cdot \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} $

Сократим $ \sin(2\alpha) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin(2\alpha) \neq 0 $, что является областью определения для $ \text{ctg}(2\alpha) $):

$ \cos(4\alpha) - 2\cos(2\alpha)\cos(2\alpha) = \cos(4\alpha) - 2\cos^2(2\alpha) $

Теперь применим формулу косинуса двойного угла для $ \cos(4\alpha) $, а именно $ \cos(4\alpha) = \cos(2 \cdot 2\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1 $. Подставим ее в полученное выражение:

$ (2\cos^2(2\alpha) - 1) - 2\cos^2(2\alpha) $

Слагаемые $ 2\cos^2(2\alpha) $ и $ -2\cos^2(2\alpha) $ взаимно уничтожаются, и остается:

$ -1 $

Ответ: $ -1 $