Номер 21.28, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.28. Постройте график функции:

1) $y = \frac{\operatorname{tg} 3x - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} 3x \operatorname{tg} x}$;

2) $y = \frac{\operatorname{tg} x - 1}{\operatorname{tg} x + 1}$.

1) $y = \frac{\tg 3x - \tg x}{1 + \tg 3x \tg x}$

Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$. В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = x$. Тогда функцию можно упростить: $y = \tg(3x - x) = \tg(2x)$.

Теперь найдем область определения исходной функции (ОДЗ). Выражение имеет смысл, если:

• $\tg x$ определен, то есть $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• $\tg 3x$ определен, то есть $\cos 3x \neq 0$, что означает $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, или $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Знаменатель не равен нулю: $1 + \tg 3x \tg x \neq 0$. Это условие нарушается, если $\cos(3x-x) = \cos(2x) = 0$, то есть $2x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, или $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \tg(2x)$ за исключением точек, не входящих в ОДЗ. Функция $y = \tg(2x)$ имеет вертикальные асимптоты при $2x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$. Эти точки уже исключены из ОДЗ. Нам нужно дополнительно исключить точки, в которых не определены $\tg x$ или $\tg 3x$. Условие $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ является частным случаем условия $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$ (при $k=1, 4, ...$ или $k=-2, -5, ...$). Следовательно, из графика функции $y = \tg(2x)$ нужно выколоть точки с абсциссами $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.

Найдем ординаты этих выколотых точек, подставляя их абсциссы в упрощенную функцию $y = \tg(2x)$:

• При $k=3j$ (например, $k=0, 3, ...$): $x = \frac{\pi}{6} + \pi j$. $y = \tg(2(\frac{\pi}{6} + \pi j)) = \tg(\frac{\pi}{3} + 2\pi j) = \tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Выколоты точки $(\frac{\pi}{6} + \pi j, \sqrt{3})$.
• При $k=3j+1$ (например, $k=1, 4, ...$): $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi j = \frac{\pi}{2} + \pi j$. $y = \tg(2(\frac{\pi}{2} + \pi j)) = \tg(\pi + 2\pi j) = \tg(\pi) = 0$. Выколоты точки $(\frac{\pi}{2} + \pi j, 0)$.
• При $k=3j+2$ (например, $k=2, 5, ...$): $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + \pi j = \frac{5\pi}{6} + \pi j$. $y = \tg(2(\frac{5\pi}{6} + \pi j)) = \tg(\frac{5\pi}{3} + 2\pi j) = \tg(\frac{5\pi}{3}) = -\sqrt{3}$. Выколоты точки $(\frac{5\pi}{6} + \pi j, -\sqrt{3})$.

Таким образом, для построения графика нужно:
1. Построить график функции $y = \tg(2x)$. Это тангенсоида, сжатая в 2 раза по оси Ox, с периодом $T = \frac{\pi}{2}$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$.
2. Выколоть на этом графике точки с координатами $(\frac{\pi}{6} + \pi j, \sqrt{3})$, $(\frac{\pi}{2} + \pi j, 0)$, $(\frac{5\pi}{6} + \pi j, -\sqrt{3})$ для всех целых $j$.

Ответ: Графиком функции является график функции $y = \tg(2x)$ с выколотыми точками, абсциссы которых равны $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \frac{\tg x - 1}{\tg x + 1}$

Заметим, что $1 = \tg(\frac{\pi}{4})$. Перепишем функцию: $y = \frac{\tg x - \tg(\frac{\pi}{4})}{1 + \tg x} = \frac{\tg x - \tg(\frac{\pi}{4})}{1 + \tg x \cdot 1} = \frac{\tg x - \tg(\frac{\pi}{4})}{1 + \tg x \cdot \tg(\frac{\pi}{4})}$.

Это выражение соответствует формуле тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \tg \beta}$. Здесь $\alpha = x$, $\beta = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, функция упрощается до: $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.

Найдем область определения исходной функции (ОДЗ):

• $\tg x$ должен быть определен, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Знаменатель не должен быть равен нулю: $\tg x + 1 \neq 0$, откуда $\tg x \neq -1$. Это означает, что $x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

График исходной функции — это график функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ с выколотыми точками. Упрощенная функция $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ не определена, когда ее аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi m$: $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi m$. Заметим, что $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} - \pi + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi(n-1)$. Это те же самые точки. Таким образом, вертикальные асимптоты графика $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ соответствуют точкам, где знаменатель исходной функции обращается в ноль.

Теперь нужно учесть второе условие ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. В этих точках исходная функция не определена, так как не определен $\tg x$. Мы должны выколоть эти точки на графике $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.

Найдем ординаты выколотых точек, подставив их абсциссы $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ в упрощенную функцию: $y = \tg\left(\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) - \frac{\pi}{4}\right) = \tg\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right)$. Так как период тангенса равен $\pi$, $\tg(\frac{\pi}{4} + \pi k) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$. Следовательно, все выколотые точки имеют ординату $y=1$.

Таким образом, для построения графика нужно:
1. Построить график функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$. Это график $y = \tg x$, сдвинутый вправо на $\frac{\pi}{4}$. Период $T=\pi$, вертикальные асимптоты $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
2. Выколоть на этом графике точки с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 1)$ для всех целых $k$.

Ответ: Графиком функции является график $y = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ с выколотыми точками $(\frac{\pi}{2} + \pi k, 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.