Номер 21.24, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.24. Докажите тождество:

1) $\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta;$

2) $\text{tg}(\alpha + \beta) - (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) - \text{tg}(\alpha + \beta)\text{tg}\alpha\text{tg}\beta = 0.$

1) Докажем тождество $ \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $

Перемножим правые части этих формул:

$ \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) $

Воспользуемся формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $, где $ a = \cos \alpha \cos \beta $ и $ b = \sin \alpha \sin \beta $:

$ (\cos \alpha \cos \beta)^2 - (\sin \alpha \sin \beta)^2 = \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta $

Теперь используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Выразим из него $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $ и подставим в полученное выражение:

$ \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - (1 - \cos^2 \alpha)\sin^2 \beta = \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta $

Вынесем $ \cos^2 \alpha $ за скобки:

$ \cos^2 \alpha (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) - \sin^2 \beta $

Так как $ \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1 $, получаем:

$ \cos^2 \alpha \cdot 1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta $

Мы преобразовали левую часть тождества к правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \tg(\alpha + \beta) - (\tg\alpha + \tg\beta) - \tg(\alpha + \beta)\tg\alpha\tg\beta = 0 $.

Запишем формулу тангенса суммы:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta} $

Это равенство является тождеством при условии, что все тангенсы существуют (т.е. косинусы соответствующих углов не равны нулю) и знаменатель не равен нулю ($ 1 - \tg\alpha\tg\beta \neq 0 $).

Умножим обе части равенства на знаменатель $ (1 - \tg\alpha\tg\beta) $:

$ \tg(\alpha + \beta) (1 - \tg\alpha\tg\beta) = \tg\alpha + \tg\beta $

Раскроем скобки в левой части:

$ \tg(\alpha + \beta) - \tg(\alpha + \beta)\tg\alpha\tg\beta = \tg\alpha + \tg\beta $

Перенесем все члены в левую часть равенства, изменив их знаки на противоположные:

$ \tg(\alpha + \beta) - (\tg\alpha + \tg\beta) - \tg(\alpha + \beta)\tg\alpha\tg\beta = 0 $

Мы получили исходное выражение, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.