Номер 21.21, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.21. Упростите выражение:

1) $\cos\frac{\alpha}{2}\text{ctg}\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}$;

2) $\text{ctg}\alpha - \text{ctg}2\alpha$;

3) $\frac{1}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}2\alpha}$.

1) Упростим выражение $\cos\frac{\alpha}{2}\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}$.
Заменим котангенс по определению $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} + \sin\frac{\alpha}{2}$
Приведем к общему знаменателю $\sin\frac{\alpha}{4}$:
$\frac{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}}$
Числитель дроби является формулой косинуса разности: $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$. В нашем случае $A = \frac{\alpha}{2}$ и $B = \frac{\alpha}{4}$.
Таким образом, числитель равен $\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{4}) = \cos\frac{\alpha}{4}$.
Подставим это обратно в выражение:
$\frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} = \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4}$
Ответ: $\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4}$.

2) Упростим выражение $\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}2\alpha$.
Заменим котангенсы по определению $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$
Приведем к общему знаменателю $\sin\alpha\sin2\alpha$:
$\frac{\cos\alpha\sin2\alpha - \sin\alpha\cos2\alpha}{\sin\alpha\sin2\alpha}$
Числитель дроби является формулой синуса разности: $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$. В нашем случае $A = 2\alpha$ и $B = \alpha$.
Таким образом, числитель равен $\sin(2\alpha - \alpha) = \sin\alpha$.
Подставим это обратно в выражение:
$\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha\sin2\alpha}$
Сократим дробь на $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):
$\frac{1}{\sin2\alpha}$
Ответ: $\frac{1}{\sin2\alpha}$.

3) Упростим выражение $\frac{1}{1+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}2\alpha}$.
Заменим тангенсы по определению $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$\frac{1}{1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}} = \frac{1}{1+\frac{\sin\alpha\sin2\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha}}$
Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю $\cos\alpha\cos2\alpha$:
$\frac{1}{\frac{\cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha}}$
Упростим многоэтажную дробь, перевернув знаменатель:
$\frac{\cos\alpha\cos2\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha}$
Знаменатель дроби является формулой косинуса разности: $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$. В нашем случае $A = 2\alpha$ и $B = \alpha$.
Таким образом, знаменатель равен $\cos(2\alpha - \alpha) = \cos\alpha$.
Подставим это обратно в выражение:
$\frac{\cos\alpha\cos2\alpha}{\cos\alpha}$
Сократим дробь на $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):
$\cos2\alpha$
Ответ: $\cos2\alpha$.