Номер 21.14, страница 160 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.14. Найдите $\sin (\alpha - \beta)$, если $\sin \alpha = -\frac{15}{17}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ и $\cos \beta = \frac{7}{25}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$.

Для нахождения значения выражения $sin(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой синуса разности двух углов:
$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

Из условия задачи нам известны значения $sin(\alpha) = -\frac{15}{17}$ и $cos(\beta) = \frac{7}{25}$. Для вычисления нам необходимо найти $cos(\alpha)$ и $sin(\beta)$.

Найдем $cos(\alpha)$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.
$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - \left(-\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$.
Следовательно, $cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17}$.
Поскольку по условию угол $\alpha$ принадлежит интервалу $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти, его косинус имеет отрицательное значение. Таким образом, $cos(\alpha) = -\frac{8}{17}$.

Теперь найдем $sin(\beta)$, также используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\beta) + cos^2(\beta) = 1$.
$sin^2(\beta) = 1 - cos^2(\beta) = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.
Следовательно, $sin(\beta) = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$.
Поскольку угол $\beta$ принадлежит интервалу $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$, что соответствует четвертой координатной четверти, его синус имеет отрицательное значение. Таким образом, $sin(\beta) = -\frac{24}{25}$.

Наконец, подставим все известные и найденные значения в формулу синуса разности:
$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta) = \left(-\frac{15}{17}\right) \cdot \left(\frac{7}{25}\right) - \left(-\frac{8}{17}\right) \cdot \left(-\frac{24}{25}\right)$.
$sin(\alpha - \beta) = -\frac{15 \cdot 7}{17 \cdot 25} - \frac{8 \cdot 24}{17 \cdot 25} = -\frac{105}{425} - \frac{192}{425} = \frac{-105 - 192}{425} = -\frac{297}{425}$.

Ответ: $-\frac{297}{425}$