Номер 21.9, страница 160 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.9. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos(\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin \beta}{\cos(\alpha - \beta) - \sin \alpha \sin \beta} = 1;$

2) $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2\cos(45^{\circ} + \alpha)}{2\sin(45^{\circ} + \alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha} = \operatorname{tg} \alpha;$

3) $\frac{\sin(45^{\circ} + \alpha) - \cos(45^{\circ} + \alpha)}{\sin(45^{\circ} + \alpha) + \cos(45^{\circ} + \alpha)} = \operatorname{tg} \alpha;$

4) $\frac{\sin \alpha + 2\sin(60^{\circ} - \alpha)}{2\cos(30^{\circ} - \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} = \sqrt{3} \operatorname{ctg} \alpha.$

1)Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Воспользуемся формулами косинуса суммы и косинуса разности:
$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$
$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$
Подставим эти формулы в исходное выражение:
$\frac{cos(\alpha + \beta) + sin\alpha sin\beta}{cos(\alpha - \beta) - sin\alpha sin\beta} = \frac{(cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta) + sin\alpha sin\beta}{(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) - sin\alpha sin\beta}$
Упростим числитель и знаменатель, сократив подобные слагаемые:
$\frac{cos\alpha cos\beta}{cos\alpha cos\beta} = 1$
Поскольку левая часть равна $1$, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2)Преобразуем левую часть тождества: $\frac{\sqrt{2} cos\alpha - 2cos(45^\circ + \alpha)}{2sin(45^\circ + \alpha) - \sqrt{2} sin\alpha}$.
Используем формулы синуса и косинуса суммы, а также значения тригонометрических функций для угла $45^\circ$: $sin(45^\circ) = cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$cos(45^\circ + \alpha) = cos(45^\circ)cos\alpha - sin(45^\circ)sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha - sin\alpha)$.
$sin(45^\circ + \alpha) = sin(45^\circ)cos\alpha + cos(45^\circ)sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha)$.
Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства.
Преобразуем числитель:
$\sqrt{2} cos\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha - sin\alpha) = \sqrt{2} cos\alpha - \sqrt{2}(cos\alpha - sin\alpha) = \sqrt{2} cos\alpha - \sqrt{2} cos\alpha + \sqrt{2} sin\alpha = \sqrt{2} sin\alpha$.
Преобразуем знаменатель:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha) - \sqrt{2} sin\alpha = \sqrt{2}(cos\alpha + sin\alpha) - \sqrt{2} sin\alpha = \sqrt{2} cos\alpha + \sqrt{2} sin\alpha - \sqrt{2} sin\alpha = \sqrt{2} cos\alpha$.
Получаем дробь:
$\frac{\sqrt{2} sin\alpha}{\sqrt{2} cos\alpha} = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = tg\alpha$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3)Преобразуем левую часть тождества: $\frac{sin(45^\circ + \alpha) - cos(45^\circ + \alpha)}{sin(45^\circ + \alpha) + cos(45^\circ + \alpha)}$.
Используем формулы синуса и косинуса суммы и значения тригонометрических функций для угла $45^\circ$: $sin(45^\circ) = cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$sin(45^\circ + \alpha) = sin(45^\circ)cos\alpha + cos(45^\circ)sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha)$.
$cos(45^\circ + \alpha) = cos(45^\circ)cos\alpha - sin(45^\circ)sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha - sin\alpha)$.
Подставим эти выражения в числитель и знаменатель.
Числитель:
$\frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha - sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha - cos\alpha + sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2sin\alpha) = \sqrt{2}sin\alpha$.
Знаменатель:
$\frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha - sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha + sin\alpha + cos\alpha - sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2cos\alpha) = \sqrt{2}cos\alpha$.
Получаем дробь:
$\frac{\sqrt{2}sin\alpha}{\sqrt{2}cos\alpha} = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = tg\alpha$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

4)Преобразуем левую часть тождества: $\frac{sin\alpha + 2sin(60^\circ - \alpha)}{2cos(30^\circ - \alpha) - \sqrt{3}cos\alpha}$.
Используем формулы синуса и косинуса разности, а также значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $60^\circ$:
$sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
$cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
Раскроем выражения в числителе и знаменателе:
$sin(60^\circ - \alpha) = sin(60^\circ)cos\alpha - cos(60^\circ)sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha - \frac{1}{2}sin\alpha$.
$cos(30^\circ - \alpha) = cos(30^\circ)cos\alpha + sin(30^\circ)sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha + \frac{1}{2}sin\alpha$.
Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства.
Преобразуем числитель:
$sin\alpha + 2(\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha - \frac{1}{2}sin\alpha) = sin\alpha + \sqrt{3}cos\alpha - sin\alpha = \sqrt{3}cos\alpha$.
Преобразуем знаменатель:
$2(\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha + \frac{1}{2}sin\alpha) - \sqrt{3}cos\alpha = \sqrt{3}cos\alpha + sin\alpha - \sqrt{3}cos\alpha = sin\alpha$.
Получаем дробь:
$\frac{\sqrt{3}cos\alpha}{sin\alpha} = \sqrt{3} \cdot \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \sqrt{3} ctg\alpha$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.