Номер 21.3, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.3. Упростите выражение:

1) $sin \alpha \cos 4\alpha + \cos \alpha \sin 4\alpha$;

2) $\cos 17^\circ \cos 43^\circ - \sin 17^\circ \sin 43^\circ$;

3) $\cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} - \sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8}$;

4) $\sin \alpha \sin (\alpha + \beta) + \cos \alpha \cos (\alpha + \beta)$;

5) $\sin 53^\circ \cos 7^\circ - \cos 53^\circ \sin (-7^\circ)$;

6) $\sin (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) - \sin (\alpha - \beta) \cos (\alpha + \beta)$;

7) $(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2 + (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)^2$;

8) $\frac{\sin 20^\circ \cos 5^\circ - \cos 20^\circ \sin 5^\circ}{\cos 10^\circ \cos 5^\circ - \sin 10^\circ \sin 5^\circ}$;

9) $\cos (\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta$.

1) Данное выражение соответствует формуле синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. В нашем случае $x = \alpha$ и $y = 4\alpha$.
$\sin \alpha \cos 4\alpha + \cos \alpha \sin 4\alpha = \sin(\alpha + 4\alpha) = \sin(5\alpha)$.
Ответ: $\sin(5\alpha)$.

2) Применяем формулу косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$. В данном случае $x = 17^\circ$ и $y = 43^\circ$.
$\cos 17^\circ \cos 43^\circ - \sin 17^\circ \sin 43^\circ = \cos(17^\circ + 43^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Используем формулу косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$. Здесь $x = \frac{3\pi}{8}$ и $y = \frac{\pi}{8}$.
$\cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{3\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} = \cos(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{4\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: $0$.

4) Переставим слагаемые для удобства: $\cos \alpha \cos(\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)$. Это выражение соответствует формуле косинуса разности: $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. Здесь $x = \alpha$ и $y = \alpha + \beta$.
$\cos(\alpha - (\alpha + \beta)) = \cos(\alpha - \alpha - \beta) = \cos(-\beta)$.
Так как косинус является четной функцией ($\cos(-z) = \cos z$), то $\cos(-\beta) = \cos\beta$.
Ответ: $\cos\beta$.

5) Используем свойство нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin x$. Тогда $\sin(-7^\circ) = -\sin 7^\circ$.
Выражение принимает вид: $\sin 53^\circ \cos 7^\circ - \cos 53^\circ (-\sin 7^\circ) = \sin 53^\circ \cos 7^\circ + \cos 53^\circ \sin 7^\circ$.
Теперь применяем формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, где $x = 53^\circ$ и $y = 7^\circ$.
$\sin(53^\circ + 7^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6) Это выражение соответствует формуле синуса разности: $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$. В данном случае $x = \alpha + \beta$ и $y = \alpha - \beta$.
$\sin((\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)) = \sin(\alpha + \beta - \alpha + \beta) = \sin(2\beta)$.
Ответ: $\sin(2\beta)$.

7) Выражения в скобках являются формулами синуса суммы и косинуса суммы.
Первая скобка: $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta)$.
Вторая скобка: $\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha + \beta)$.
Исходное выражение преобразуется в: $(\sin(\alpha + \beta))^2 + (\cos(\alpha + \beta))^2 = \sin^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha + \beta)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, результат равен 1.
Ответ: $1$.

8) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $\sin 20^\circ \cos 5^\circ - \cos 20^\circ \sin 5^\circ$. Это формула синуса разности $\sin(x-y)$, где $x=20^\circ, y=5^\circ$. Числитель равен $\sin(20^\circ - 5^\circ) = \sin(15^\circ)$.
Знаменатель: $\cos 10^\circ \cos 5^\circ - \sin 10^\circ \sin 5^\circ$. Это формула косинуса суммы $\cos(x+y)$, где $x=10^\circ, y=5^\circ$. Знаменатель равен $\cos(10^\circ + 5^\circ) = \cos(15^\circ)$.
Дробь принимает вид: $\frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} = \tan 15^\circ$.
Ответ: $\tan 15^\circ$.

9) Раскроем $\cos(\alpha + \beta)$ по формуле косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
Подставим в исходное выражение: $(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta$.
Приводим подобные слагаемые: $\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
Полученное выражение является формулой косинуса разности $\cos(\alpha - \beta)$.
Ответ: $\cos(\alpha - \beta)$.