Номер 21.4, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.4. Упростите выражение:

1) $\cos 6\alpha \cos 2\alpha - \sin 6\alpha \sin 2\alpha;$

2) $\sin 12^\circ \cos 18^\circ + \sin 18^\circ \cos 12^\circ;$

3) $\sin (-15^\circ) \cos 75^\circ + \cos 15^\circ \sin 75^\circ;$

4) $\cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha - \beta);$

5) $\frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ + \sin 64^\circ \sin 4^\circ}{\sin 19^\circ \cos 41^\circ + \sin 41^\circ \cos 19^\circ};$

6) $\cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta.$

1) Данное выражение представляет собой формулу косинуса суммы двух углов: $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $.
В данном случае $ A = 6\alpha $ и $ B = 2\alpha $.
Следовательно, выражение можно упростить следующим образом: $ \cos 6\alpha \cos 2\alpha - \sin 6\alpha \sin 2\alpha = \cos(6\alpha + 2\alpha) = \cos(8\alpha) $.
Ответ: $ \cos(8\alpha) $.

2) Это выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
Здесь $ A = 12^{\circ} $ и $ B = 18^{\circ} $.
Применяя формулу, получаем: $ \sin 12^{\circ} \cos 18^{\circ} + \sin 18^{\circ} \cos 12^{\circ} = \sin(12^{\circ} + 18^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) $.
Значение синуса 30 градусов является табличным и равно $ \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

3) Сначала воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
Выражение примет вид: $ -\sin(15^{\circ})\cos(75^{\circ}) + \cos(15^{\circ})\sin(75^{\circ}) $.
Переставим слагаемые для удобства: $ \sin(75^{\circ})\cos(15^{\circ}) - \cos(75^{\circ})\sin(15^{\circ}) $.
Это формула синуса разности двух углов: $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
В нашем случае $ A = 75^{\circ} $ и $ B = 15^{\circ} $.
Таким образом, выражение равно $ \sin(75^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) $.
Значение синуса 60 градусов равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

4) Данное выражение имеет вид формулы косинуса разности: $ \cos(X - Y) = \cos X \cos Y + \sin X \sin Y $.
Здесь в качестве $ X $ выступает $ (\alpha + \beta) $, а в качестве $ Y $ выступает $ (\alpha - \beta) $.
Подставляем в формулу: $ \cos((\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)) $.
Раскрываем скобки в аргументе косинуса: $ \cos(\alpha + \beta - \alpha + \beta) = \cos(2\beta) $.
Ответ: $ \cos(2\beta) $.

5) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя тригонометрические формулы сложения.
Числитель: $ \cos 64^{\circ} \cos 4^{\circ} + \sin 64^{\circ} \sin 4^{\circ} $. Это формула косинуса разности $ \cos(A-B) $.
$ \cos(64^{\circ} - 4^{\circ}) = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} $.
Знаменатель: $ \sin 19^{\circ} \cos 41^{\circ} + \sin 41^{\circ} \cos 19^{\circ} $. Это формула синуса суммы $ \sin(A+B) $.
$ \sin(19^{\circ} + 41^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя: $ \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $: $ \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

6) Раскроем выражение $ \cos(\alpha - \beta) $ по формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.
Подставим это в исходное выражение: $ (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - 2\sin\alpha\sin\beta $.
Приведем подобные слагаемые: $ \cos\alpha\cos\beta + (\sin\alpha\sin\beta - 2\sin\alpha\sin\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.
Полученное выражение является формулой косинуса суммы: $ \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha+\beta) $.
Ответ: $ \cos(\alpha+\beta) $.