Номер 21.1, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.1. Упростите выражение:

1) $cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)$;

2) $sin(30^\circ + \alpha) - cos(60^\circ + \alpha)$;

3) $\sqrt{2} sin(\alpha - 45^\circ) - sin\alpha + cos\alpha$;

4) $2 cos(60^\circ - \alpha) - \sqrt{3} sin\alpha - cos\alpha$.

1) Для упрощения выражения $\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулами сложения для косинуса (косинус суммы и косинус разности):

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-\sin\alpha\sin\beta$ и $\sin\alpha\sin\beta$ взаимно уничтожаются:

$\cos\alpha\cos\beta + \cos\alpha\cos\beta = 2\cos\alpha\cos\beta$

Ответ: $2\cos\alpha\cos\beta$

2) Для упрощения выражения $\sin(30^\circ + \alpha) - \cos(60^\circ + \alpha)$ применим формулы сложения для синуса и косинуса, а также значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $60^\circ$.

Формула синуса суммы: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.

$\sin(30^\circ + \alpha) = \sin30^\circ\cos\alpha + \cos30^\circ\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Формула косинуса суммы: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.

$\cos(60^\circ + \alpha) = \cos60^\circ\cos\alpha - \sin60^\circ\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) - (\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Приведем подобные слагаемые:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha) + (\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = 0 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \sqrt{3}\sin\alpha$

Ответ: $\sqrt{3}\sin\alpha$

3) Для упрощения выражения $\sqrt{2}\sin(\alpha - 45^\circ) - \sin\alpha + \cos\alpha$ используем формулу синуса разности:

$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

Зная, что $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sin(\alpha - 45^\circ) = \sin\alpha\cos45^\circ - \cos\alpha\sin45^\circ = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha)$

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha + \cos\alpha$

Упростим первую часть:

$\frac{2}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha + \cos\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha + \cos\alpha$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha + \cos\alpha = (\sin\alpha - \sin\alpha) + (-\cos\alpha + \cos\alpha) = 0$

Ответ: $0$

4) Для упрощения выражения $2\cos(60^\circ - \alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha$ используем формулу косинуса разности:

$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Зная, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\cos(60^\circ - \alpha) = \cos60^\circ\cos\alpha + \sin60^\circ\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Подставим это в исходное выражение:

$2 \left( \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha \right) - \sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha$

Раскроем скобки:

$2 \cdot \frac{1}{2}\cos\alpha + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha = \cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha$

Приведем подобные слагаемые:

$(\cos\alpha - \cos\alpha) + (\sqrt{3}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha) = 0$

Ответ: $0$