Номер 21.2, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.2. Упростите выражение:

1) $\sin (\alpha - \beta) - \sin (\alpha + \beta)$;

2) $\sin (30^{\circ} - \alpha) + \cos (60^{\circ} - \alpha)$;

3) $\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \cos \alpha - \sin \alpha$.

1) Для упрощения выражения $\sin(\alpha - \beta) - \sin(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулами синуса разности и синуса суммы:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$(\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) - (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta)$

Раскроем скобки, изменив знаки у второго слагаемого:

$\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Приведем подобные члены. $\sin\alpha \cos\beta$ и $-\sin\alpha \cos\beta$ взаимно уничтожаются:

$(\sin\alpha \cos\beta - \sin\alpha \cos\beta) + (-\cos\alpha \sin\beta - \cos\alpha \sin\beta) = -2\cos\alpha \sin\beta$

Ответ: $-2\cos\alpha \sin\beta$.

2) Для упрощения выражения $\sin(30^\circ - \alpha) + \cos(60^\circ - \alpha)$ применим формулы синуса разности и косинуса разности:

$\sin(30^\circ - \alpha) = \sin 30^\circ \cos\alpha - \cos 30^\circ \sin\alpha$

$\cos(60^\circ - \alpha) = \cos 60^\circ \cos\alpha + \sin 60^\circ \sin\alpha$

Мы знаем значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $60^\circ$:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в раскрытые выражения:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) + (\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \cos\alpha + 0 = \cos\alpha$

Ответ: $\cos\alpha$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos\alpha - \sin\alpha$ начнем с раскрытия синуса суммы $\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)$:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha$

Значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ равны:

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в формулу:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) - \cos\alpha - \sin\alpha$

Раскроем скобки, умножив $\sqrt{2}$ на каждый член в них:

$\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}\sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha$

$\frac{2}{2}\cos\alpha + \frac{2}{2}\sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha$

$\cos\alpha + \sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha$

Все члены взаимно уничтожаются:

$(\cos\alpha - \cos\alpha) + (\sin\alpha - \sin\alpha) = 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$.