Номер 21.7, страница 160 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.7. Упростите выражение:

1) $ \frac{\text{tg}13^{\circ} + \text{tg}47^{\circ}}{1 - \text{tg}13^{\circ}\text{tg}47^{\circ}} $

2) $ \frac{\text{tg}1^{\circ} - \text{tg}46^{\circ}}{1 + \text{tg}1^{\circ}\text{tg}46^{\circ}} $

3) $ \frac{1 - \text{tg}27^{\circ}\text{tg}33^{\circ}}{\text{tg}27^{\circ} + \text{tg}33^{\circ}} $

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$

В нашем случае $\alpha = 13^\circ$ и $\beta = 47^\circ$.

Подставим эти значения в формулу:

$\frac{\text{tg}13^\circ + \text{tg}47^\circ}{1 - \text{tg}13^\circ \text{tg}47^\circ} = \text{tg}(13^\circ + 47^\circ) = \text{tg}(60^\circ)$

Значение тангенса 60 градусов является табличным:

$\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

2) Для этого выражения применим формулу тангенса разности двух углов:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$

В данном выражении $\alpha = 1^\circ$ и $\beta = 46^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{\text{tg}1^\circ - \text{tg}46^\circ}{1 + \text{tg}1^\circ \text{tg}46^\circ} = \text{tg}(1^\circ - 46^\circ) = \text{tg}(-45^\circ)$

Тангенс является нечетной функцией, поэтому $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$.

$\text{tg}(-45^\circ) = -\text{tg}(45^\circ)$

Табличное значение тангенса 45 градусов равно 1.

$-\text{tg}(45^\circ) = -1$

Ответ: -1

3) Данное выражение является обратным к выражению для тангенса суммы. Формула тангенса суммы углов $\alpha$ и $\beta$ имеет вид:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$

Заметим, что исходное выражение — это перевернутая дробь из формулы. То есть:

$\frac{1 - \text{tg}27^\circ \text{tg}33^\circ}{\text{tg}27^\circ + \text{tg}33^\circ} = \frac{1}{\frac{\text{tg}27^\circ + \text{tg}33^\circ}{1 - \text{tg}27^\circ \text{tg}33^\circ}} = \frac{1}{\text{tg}(27^\circ + 33^\circ)}$

Выражение $\frac{1}{\text{tg}x}$ равно $\text{ctg}x$.

Следовательно, получаем:

$\frac{1}{\text{tg}(27^\circ + 33^\circ)} = \frac{1}{\text{tg}(60^\circ)} = \text{ctg}(60^\circ)$

Значение котангенса 60 градусов является табличным:

$\text{ctg}(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$