Страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие формулы называют формулами сложения?

Формулами сложения в тригонометрии называют тождества, которые выражают тригонометрические функции суммы или разности двух углов через тригонометрические функции этих же углов. Эти формулы являются основополагающими и широко применяются для упрощения выражений, решения уравнений и вывода других тригонометрических формул (например, формул двойного или половинного угла).

К основным формулам сложения относятся:

• Косинус суммы и разности:

  $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

  $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

  Иногда их записывают в компактной форме: $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

• Синус суммы и разности:

  $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

  $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

  Компактная форма: $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$

• Тангенс суммы и разности:

  $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$

  $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$

• Котангенс суммы и разности:

  $\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot\alpha \cot\beta - 1}{\cot\beta + \cot\alpha}$

  $\cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot\alpha \cot\beta + 1}{\cot\beta - \cot\alpha}$

Ответ: Формулами сложения называют тригонометрические тождества, которые выражают значение тригонометрической функции от суммы или разности двух аргументов (например, $\alpha+\beta$ или $\alpha-\beta$) через тригонометрические функции этих же аргументов ($\alpha$ и $\beta$).

2. Запишите формулу:

1) косинуса разности;

2) косинуса суммы;

3) синуса суммы;

4) синуса разности;

5) тангенса суммы;

6) тангенса разности.

1) косинуса разности; Формула косинуса разности двух углов (обозначим их как $\alpha$ и $\beta$) позволяет вычислить значение косинуса от их разности, зная значения синусов и косинусов каждого из этих углов. Формула гласит, что косинус разности равен сумме произведения косинусов этих углов и произведения их синусов.

Ответ: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

2) косинуса суммы; Формула косинуса суммы двух углов $\alpha$ и $\beta$ аналогична формуле для косинуса разности, но отличается знаком. Она утверждает, что косинус суммы равен разности между произведением косинусов этих углов и произведением их синусов.

Ответ: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

3) синуса суммы; Формула синуса суммы двух углов $\alpha$ и $\beta$ выражает синус их суммы через "перекрестное" произведение синусов и косинусов. Синус суммы равен синусу первого угла, умноженному на косинус второго, плюс косинус первого угла, умноженный на синус второго.

Ответ: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

4) синуса разности; Формула синуса разности двух углов $\alpha$ и $\beta$ следует той же структуре, что и формула синуса суммы, но с вычитанием. Синус разности равен синусу первого угла, умноженному на косинус второго, минус косинус первого угла, умноженный на синус второго.

Ответ: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

5) тангенса суммы; Формула тангенса суммы двух углов $\alpha$ и $\beta$ выражается через тангенсы этих углов. Она представляет собой дробь, в числителе которой — сумма тангенсов, а в знаменателе — единица минус их произведение. Формула применима при условии, что тангенсы углов $\alpha$, $\beta$ и их суммы $\alpha+\beta$ существуют (то есть их косинусы не равны нулю).

Ответ: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$

6) тангенса разности. Формула тангенса разности двух углов $\alpha$ и $\beta$ имеет структуру, схожую с формулой тангенса суммы, но со знаками, измененными на противоположные. В числителе дроби стоит разность тангенсов, а в знаменателе — единица плюс их произведение. Формула применима при условии, что тангенсы углов $\alpha$, $\beta$ и их разности $\alpha-\beta$ существуют.

Ответ: $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$

3. Чему равен $ \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) $? $ \sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) $?

Эти выражения являются примерами формул приведения, которые позволяют упрощать тригонометрические функции. Мы можем вывести их, используя формулы сложения и вычитания углов.

Чему равен $\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)$?

Для нахождения значения этого выражения воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:
$\cos(A - B) = \cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)$
В нашем случае $A = \frac{\pi}{2}$ и $B = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:
$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2})\cos(\alpha) + \sin(\frac{\pi}{2})\sin(\alpha)$
Мы знаем, что значение косинуса угла $\frac{\pi}{2}$ (90°) равно 0, а синуса — 1:
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
Подставим эти значения в полученное выражение:
$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = (0) \cdot \cos(\alpha) + (1) \cdot \sin(\alpha)$
Упрощая, получаем:
$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 0 + \sin(\alpha) = \sin(\alpha)$
Ответ: $\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin(\alpha)$

Чему равен $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)$?

Аналогично, для нахождения этого значения воспользуемся формулой синуса разности двух углов:
$\sin(A - B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)$
Здесь также $A = \frac{\pi}{2}$ и $B = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:
$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2})\cos(\alpha) - \cos(\frac{\pi}{2})\sin(\alpha)$
Используя те же известные значения $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, подставляем их в выражение:
$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = (1) \cdot \cos(\alpha) - (0) \cdot \sin(\alpha)$
Упрощая, получаем:
$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) - 0 = \cos(\alpha)$
Ответ: $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos(\alpha)$

21.1. Упростите выражение:

1) $cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)$;

2) $sin(30^\circ + \alpha) - cos(60^\circ + \alpha)$;

3) $\sqrt{2} sin(\alpha - 45^\circ) - sin\alpha + cos\alpha$;

4) $2 cos(60^\circ - \alpha) - \sqrt{3} sin\alpha - cos\alpha$.

1) Для упрощения выражения $\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулами сложения для косинуса (косинус суммы и косинус разности):

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-\sin\alpha\sin\beta$ и $\sin\alpha\sin\beta$ взаимно уничтожаются:

$\cos\alpha\cos\beta + \cos\alpha\cos\beta = 2\cos\alpha\cos\beta$

Ответ: $2\cos\alpha\cos\beta$

2) Для упрощения выражения $\sin(30^\circ + \alpha) - \cos(60^\circ + \alpha)$ применим формулы сложения для синуса и косинуса, а также значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $60^\circ$.

Формула синуса суммы: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.

$\sin(30^\circ + \alpha) = \sin30^\circ\cos\alpha + \cos30^\circ\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Формула косинуса суммы: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.

$\cos(60^\circ + \alpha) = \cos60^\circ\cos\alpha - \sin60^\circ\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) - (\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Приведем подобные слагаемые:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha) + (\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = 0 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \sqrt{3}\sin\alpha$

Ответ: $\sqrt{3}\sin\alpha$

3) Для упрощения выражения $\sqrt{2}\sin(\alpha - 45^\circ) - \sin\alpha + \cos\alpha$ используем формулу синуса разности:

$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

Зная, что $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sin(\alpha - 45^\circ) = \sin\alpha\cos45^\circ - \cos\alpha\sin45^\circ = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha)$

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha + \cos\alpha$

Упростим первую часть:

$\frac{2}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha + \cos\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha) - \sin\alpha + \cos\alpha$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha + \cos\alpha = (\sin\alpha - \sin\alpha) + (-\cos\alpha + \cos\alpha) = 0$

Ответ: $0$

4) Для упрощения выражения $2\cos(60^\circ - \alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha$ используем формулу косинуса разности:

$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Зная, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\cos(60^\circ - \alpha) = \cos60^\circ\cos\alpha + \sin60^\circ\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Подставим это в исходное выражение:

$2 \left( \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha \right) - \sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha$

Раскроем скобки:

$2 \cdot \frac{1}{2}\cos\alpha + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha = \cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha$

Приведем подобные слагаемые:

$(\cos\alpha - \cos\alpha) + (\sqrt{3}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha) = 0$

Ответ: $0$

21.2. Упростите выражение:

1) $\sin (\alpha - \beta) - \sin (\alpha + \beta)$;

2) $\sin (30^{\circ} - \alpha) + \cos (60^{\circ} - \alpha)$;

3) $\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \cos \alpha - \sin \alpha$.

1) Для упрощения выражения $\sin(\alpha - \beta) - \sin(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулами синуса разности и синуса суммы:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$(\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) - (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta)$

Раскроем скобки, изменив знаки у второго слагаемого:

$\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Приведем подобные члены. $\sin\alpha \cos\beta$ и $-\sin\alpha \cos\beta$ взаимно уничтожаются:

$(\sin\alpha \cos\beta - \sin\alpha \cos\beta) + (-\cos\alpha \sin\beta - \cos\alpha \sin\beta) = -2\cos\alpha \sin\beta$

Ответ: $-2\cos\alpha \sin\beta$.

2) Для упрощения выражения $\sin(30^\circ - \alpha) + \cos(60^\circ - \alpha)$ применим формулы синуса разности и косинуса разности:

$\sin(30^\circ - \alpha) = \sin 30^\circ \cos\alpha - \cos 30^\circ \sin\alpha$

$\cos(60^\circ - \alpha) = \cos 60^\circ \cos\alpha + \sin 60^\circ \sin\alpha$

Мы знаем значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $60^\circ$:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в раскрытые выражения:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) + (\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) = \cos\alpha + 0 = \cos\alpha$

Ответ: $\cos\alpha$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos\alpha - \sin\alpha$ начнем с раскрытия синуса суммы $\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)$:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha$

Значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ равны:

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в формулу:

$\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) - \cos\alpha - \sin\alpha$

Раскроем скобки, умножив $\sqrt{2}$ на каждый член в них:

$\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}\sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha$

$\frac{2}{2}\cos\alpha + \frac{2}{2}\sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha$

$\cos\alpha + \sin\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha$

Все члены взаимно уничтожаются:

$(\cos\alpha - \cos\alpha) + (\sin\alpha - \sin\alpha) = 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$.

21.3. Упростите выражение:

1) $sin \alpha \cos 4\alpha + \cos \alpha \sin 4\alpha$;

2) $\cos 17^\circ \cos 43^\circ - \sin 17^\circ \sin 43^\circ$;

3) $\cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} - \sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8}$;

4) $\sin \alpha \sin (\alpha + \beta) + \cos \alpha \cos (\alpha + \beta)$;

5) $\sin 53^\circ \cos 7^\circ - \cos 53^\circ \sin (-7^\circ)$;

6) $\sin (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) - \sin (\alpha - \beta) \cos (\alpha + \beta)$;

7) $(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2 + (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)^2$;

8) $\frac{\sin 20^\circ \cos 5^\circ - \cos 20^\circ \sin 5^\circ}{\cos 10^\circ \cos 5^\circ - \sin 10^\circ \sin 5^\circ}$;

9) $\cos (\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta$.

1) Данное выражение соответствует формуле синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. В нашем случае $x = \alpha$ и $y = 4\alpha$.
$\sin \alpha \cos 4\alpha + \cos \alpha \sin 4\alpha = \sin(\alpha + 4\alpha) = \sin(5\alpha)$.
Ответ: $\sin(5\alpha)$.

2) Применяем формулу косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$. В данном случае $x = 17^\circ$ и $y = 43^\circ$.
$\cos 17^\circ \cos 43^\circ - \sin 17^\circ \sin 43^\circ = \cos(17^\circ + 43^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Используем формулу косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$. Здесь $x = \frac{3\pi}{8}$ и $y = \frac{\pi}{8}$.
$\cos\frac{3\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{3\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} = \cos(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{4\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: $0$.

4) Переставим слагаемые для удобства: $\cos \alpha \cos(\alpha + \beta) + \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)$. Это выражение соответствует формуле косинуса разности: $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. Здесь $x = \alpha$ и $y = \alpha + \beta$.
$\cos(\alpha - (\alpha + \beta)) = \cos(\alpha - \alpha - \beta) = \cos(-\beta)$.
Так как косинус является четной функцией ($\cos(-z) = \cos z$), то $\cos(-\beta) = \cos\beta$.
Ответ: $\cos\beta$.

5) Используем свойство нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin x$. Тогда $\sin(-7^\circ) = -\sin 7^\circ$.
Выражение принимает вид: $\sin 53^\circ \cos 7^\circ - \cos 53^\circ (-\sin 7^\circ) = \sin 53^\circ \cos 7^\circ + \cos 53^\circ \sin 7^\circ$.
Теперь применяем формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, где $x = 53^\circ$ и $y = 7^\circ$.
$\sin(53^\circ + 7^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6) Это выражение соответствует формуле синуса разности: $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$. В данном случае $x = \alpha + \beta$ и $y = \alpha - \beta$.
$\sin((\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)) = \sin(\alpha + \beta - \alpha + \beta) = \sin(2\beta)$.
Ответ: $\sin(2\beta)$.

7) Выражения в скобках являются формулами синуса суммы и косинуса суммы.
Первая скобка: $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta)$.
Вторая скобка: $\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha + \beta)$.
Исходное выражение преобразуется в: $(\sin(\alpha + \beta))^2 + (\cos(\alpha + \beta))^2 = \sin^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha + \beta)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, результат равен 1.
Ответ: $1$.

8) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $\sin 20^\circ \cos 5^\circ - \cos 20^\circ \sin 5^\circ$. Это формула синуса разности $\sin(x-y)$, где $x=20^\circ, y=5^\circ$. Числитель равен $\sin(20^\circ - 5^\circ) = \sin(15^\circ)$.
Знаменатель: $\cos 10^\circ \cos 5^\circ - \sin 10^\circ \sin 5^\circ$. Это формула косинуса суммы $\cos(x+y)$, где $x=10^\circ, y=5^\circ$. Знаменатель равен $\cos(10^\circ + 5^\circ) = \cos(15^\circ)$.
Дробь принимает вид: $\frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} = \tan 15^\circ$.
Ответ: $\tan 15^\circ$.

9) Раскроем $\cos(\alpha + \beta)$ по формуле косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
Подставим в исходное выражение: $(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta$.
Приводим подобные слагаемые: $\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
Полученное выражение является формулой косинуса разности $\cos(\alpha - \beta)$.
Ответ: $\cos(\alpha - \beta)$.

21.4. Упростите выражение:

1) $\cos 6\alpha \cos 2\alpha - \sin 6\alpha \sin 2\alpha;$

2) $\sin 12^\circ \cos 18^\circ + \sin 18^\circ \cos 12^\circ;$

3) $\sin (-15^\circ) \cos 75^\circ + \cos 15^\circ \sin 75^\circ;$

4) $\cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha - \beta);$

5) $\frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ + \sin 64^\circ \sin 4^\circ}{\sin 19^\circ \cos 41^\circ + \sin 41^\circ \cos 19^\circ};$

6) $\cos (\alpha - \beta) - 2 \sin \alpha \sin \beta.$

1) Данное выражение представляет собой формулу косинуса суммы двух углов: $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $.
В данном случае $ A = 6\alpha $ и $ B = 2\alpha $.
Следовательно, выражение можно упростить следующим образом: $ \cos 6\alpha \cos 2\alpha - \sin 6\alpha \sin 2\alpha = \cos(6\alpha + 2\alpha) = \cos(8\alpha) $.
Ответ: $ \cos(8\alpha) $.

2) Это выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
Здесь $ A = 12^{\circ} $ и $ B = 18^{\circ} $.
Применяя формулу, получаем: $ \sin 12^{\circ} \cos 18^{\circ} + \sin 18^{\circ} \cos 12^{\circ} = \sin(12^{\circ} + 18^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) $.
Значение синуса 30 градусов является табличным и равно $ \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

3) Сначала воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
Выражение примет вид: $ -\sin(15^{\circ})\cos(75^{\circ}) + \cos(15^{\circ})\sin(75^{\circ}) $.
Переставим слагаемые для удобства: $ \sin(75^{\circ})\cos(15^{\circ}) - \cos(75^{\circ})\sin(15^{\circ}) $.
Это формула синуса разности двух углов: $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
В нашем случае $ A = 75^{\circ} $ и $ B = 15^{\circ} $.
Таким образом, выражение равно $ \sin(75^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) $.
Значение синуса 60 градусов равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

4) Данное выражение имеет вид формулы косинуса разности: $ \cos(X - Y) = \cos X \cos Y + \sin X \sin Y $.
Здесь в качестве $ X $ выступает $ (\alpha + \beta) $, а в качестве $ Y $ выступает $ (\alpha - \beta) $.
Подставляем в формулу: $ \cos((\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)) $.
Раскрываем скобки в аргументе косинуса: $ \cos(\alpha + \beta - \alpha + \beta) = \cos(2\beta) $.
Ответ: $ \cos(2\beta) $.

5) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя тригонометрические формулы сложения.
Числитель: $ \cos 64^{\circ} \cos 4^{\circ} + \sin 64^{\circ} \sin 4^{\circ} $. Это формула косинуса разности $ \cos(A-B) $.
$ \cos(64^{\circ} - 4^{\circ}) = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} $.
Знаменатель: $ \sin 19^{\circ} \cos 41^{\circ} + \sin 41^{\circ} \cos 19^{\circ} $. Это формула синуса суммы $ \sin(A+B) $.
$ \sin(19^{\circ} + 41^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя: $ \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $: $ \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

6) Раскроем выражение $ \cos(\alpha - \beta) $ по формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.
Подставим это в исходное выражение: $ (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) - 2\sin\alpha\sin\beta $.
Приведем подобные слагаемые: $ \cos\alpha\cos\beta + (\sin\alpha\sin\beta - 2\sin\alpha\sin\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $.
Полученное выражение является формулой косинуса суммы: $ \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha+\beta) $.
Ответ: $ \cos(\alpha+\beta) $.

21.5. Известно, что $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{2} $, $ \operatorname{tg} \beta = \frac{1}{4} $. Найдите значение выражения $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) $.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов, которая выглядит следующим образом:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $

В условии задачи даны значения $ \tg \alpha = \frac{1}{2} $ и $ \tg \beta = \frac{1}{4} $. Подставим эти значения в формулу.

Сначала найдем значение числителя:

$ \tg \alpha + \tg \beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $

Приводим дроби к общему знаменателю 4:

$ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $

Теперь найдем значение знаменателя:

$ 1 - \tg \alpha \tg \beta = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{8} $

Приводим к общему знаменателю 8:

$ 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} $

Теперь подставим вычисленные значения числителя и знаменателя в исходную формулу:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{8}} $

Чтобы разделить одну дробь на другую, мы умножаем первую дробь на перевернутую вторую:

$ \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 7} = \frac{24}{28} $

Сократим полученную дробь на 4:

$ \frac{24 \div 4}{28 \div 4} = \frac{6}{7} $

Ответ: $ \frac{6}{7} $