Страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.7. Упростите выражение:

1) $(1+\operatorname{tg} \alpha)^{2}+(1-\operatorname{tg} \alpha)^{2}$;

2) $\sin ^{4} \alpha+2 \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha+\cos ^{4} \alpha$;

3) $\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}+\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}$;

4) $\operatorname{ctg} x+\frac{\sin x}{1+\cos x}$;

5) $\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}+\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$;

6) $\frac{\operatorname{tg} 3 \alpha}{\operatorname{tg}^{2} 3 \alpha-1} \cdot \frac{1-\operatorname{ctg}^{2} 3 \alpha}{\operatorname{ctg} 3 \alpha}$;

7) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{ctg} \alpha}$;

8) $\frac{1-\operatorname{ctg} \gamma}{1-\operatorname{tg} \gamma}$;

9) $\cos ^{4} \alpha-\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha$;

10) $\sin ^{4} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha$;

11) $\cos (-\alpha)+\cos \alpha \operatorname{tg}^{2}(-\alpha)$;

12) $\frac{1+\sin (-\beta)}{\cos (-\beta)}-\operatorname{tg}(-\beta)$.

1) Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$(1 + \tg \alpha)^2 + (1 - \tg \alpha)^2 = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \tg \alpha + \tg^2 \alpha) + (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \tg \alpha + \tg^2 \alpha) = $
$= (1 + 2\tg\alpha + \tg^2\alpha) + (1 - 2\tg\alpha + \tg^2\alpha)$.
Приведем подобные слагаемые:
$1 + 1 + 2\tg\alpha - 2\tg\alpha + \tg^2\alpha + \tg^2\alpha = 2 + 2\tg^2\alpha$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(1 + \tg^2\alpha)$.
Используем тригонометрическое тождество $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:
$2 \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{2}{\cos^2\alpha}$.
Ответ: $\frac{2}{\cos^2\alpha}$.

2) Данное выражение представляет собой полный квадрат суммы. Заметим, что оно соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a = \sin^2\alpha$ и $b = \cos^2\alpha$:
$\sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + 2(\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha) + (\cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2 = 1$.
Ответ: $1$.

3) Приведем дроби к общему знаменателю $(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)$:
$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha(1-\cos\alpha) + \sin\alpha(1+\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}$.
В знаменателе применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha) = 1 - \cos^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\sin\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha + \sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha$.
Подставим полученные числитель и знаменатель в выражение:
$\frac{2\sin\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$.
Ответ: $\frac{2}{\sin\alpha}$.

4) Представим $\ctg x$ в виде дроби $\frac{\cos x}{\sin x}$:
$\ctg x + \frac{\sin x}{1+\cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1+\cos x}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $\sin x(1+\cos x)$:
$\frac{\cos x(1+\cos x) + \sin x \cdot \sin x}{\sin x(1+\cos x)} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x(1+\cos x)}$.
В числителе используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$\frac{\cos x + 1}{\sin x(1+\cos x)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(1+\cos x)$:
$\frac{1}{\sin x}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin x}$.

5) Приведем дроби к общему знаменателю $\sin\alpha(1+\cos\alpha)$:
$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} + \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha + (1+\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)} = \frac{\sin^2\alpha + (1+\cos\alpha)^2}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}$.
Раскроем квадрат суммы в числителе:
$\frac{\sin^2\alpha + 1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}$.
Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\frac{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 + 2\cos\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)} = \frac{1 + 1 + 2\cos\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)} = \frac{2 + 2\cos\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}$.
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:
$\frac{2(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}$.
Сократим дробь на $(1+\cos\alpha)$:
$\frac{2}{\sin\alpha}$.
Ответ: $\frac{2}{\sin\alpha}$.

6) Упростим второй множитель, выразив котангенс через тангенс, $\ctg 3\alpha = \frac{1}{\tg 3\alpha}$:
$\frac{1-\ctg^2 3\alpha}{\ctg 3\alpha} = \frac{1 - \frac{1}{\tg^2 3\alpha}}{\frac{1}{\tg 3\alpha}} = \frac{\frac{\tg^2 3\alpha - 1}{\tg^2 3\alpha}}{\frac{1}{\tg 3\alpha}}$.
Разделим дроби:
$\frac{\tg^2 3\alpha - 1}{\tg^2 3\alpha} \cdot \frac{\tg 3\alpha}{1} = \frac{\tg^2 3\alpha - 1}{\tg 3\alpha}$.
Теперь подставим упрощенный второй множитель в исходное выражение:
$\frac{\tg 3\alpha}{\tg^2 3\alpha - 1} \cdot \frac{\tg^2 3\alpha - 1}{\tg 3\alpha}$.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{\tg 3\alpha}{\tg^2 3\alpha - 1} \cdot \frac{\tg^2 3\alpha - 1}{\tg 3\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

7) Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Знаменатель: $\tg\alpha + \ctg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{\ctg\alpha}{\tg\alpha + \ctg\alpha} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}$.
Разделим дроби:
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{1} = \cos^2\alpha$.
Ответ: $\cos^2\alpha$.

8) Выразим $\tg\gamma$ через $\ctg\gamma$: $\tg\gamma = \frac{1}{\ctg\gamma}$.
$\frac{1-\ctg\gamma}{1-\tg\gamma} = \frac{1-\ctg\gamma}{1-\frac{1}{\ctg\gamma}} = \frac{1-\ctg\gamma}{\frac{\ctg\gamma-1}{\ctg\gamma}}$.
Разделим дроби:
$(1-\ctg\gamma) \cdot \frac{\ctg\gamma}{\ctg\gamma-1}$.
Заметим, что $1-\ctg\gamma = -(\ctg\gamma-1)$.
$-(\ctg\gamma-1) \cdot \frac{\ctg\gamma}{\ctg\gamma-1} = -\ctg\gamma$.
Ответ: $-\ctg\gamma$.

9) Заменим в выражении $\sin^2\alpha$ на $1-\cos^2\alpha$ согласно основному тригонометрическому тождеству:
$\cos^4\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \cos^4\alpha - \cos^2\alpha + (1-\cos^2\alpha)$.
Приведем подобные слагаемые:
$\cos^4\alpha - 2\cos^2\alpha + 1$.
Это выражение является полным квадратом разности $(\cos^2\alpha - 1)^2$.
Из основного тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$.
Тогда $(\cos^2\alpha - 1)^2 = (-\sin^2\alpha)^2 = \sin^4\alpha$.
Ответ: $\sin^4\alpha$.

10) Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $\sin^2\alpha$:
$\sin^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \cos^2\alpha$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin^2\alpha \cdot 1 + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$.
Еще раз применяем основное тождество:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Ответ: $1$.

11) Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\cos(-x) = \cos x$ (четная) и $\tg(-x) = -\tg x$ (нечетная).
$\cos(-\alpha) + \cos\alpha\tg^2(-\alpha) = \cos\alpha + \cos\alpha(-\tg\alpha)^2 = \cos\alpha + \cos\alpha\tg^2\alpha$.
Вынесем общий множитель $\cos\alpha$ за скобки:
$\cos\alpha(1+\tg^2\alpha)$.
Применим тождество $1+\tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:
$\cos\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos\alpha}$.

12) Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-\beta) = -\sin\beta$, $\cos(-\beta) = \cos\beta$, $\tg(-\beta) = -\tg\beta$.
$\frac{1+\sin(-\beta)}{\cos(-\beta)} - \tg(-\beta) = \frac{1-\sin\beta}{\cos\beta} - (-\tg\beta) = \frac{1-\sin\beta}{\cos\beta} + \tg\beta$.
Представим $\tg\beta$ как $\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$:
$\frac{1-\sin\beta}{\cos\beta} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$.
Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{1-\sin\beta+\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{1}{\cos\beta}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos\beta}$.

20.8. Упростите выражение:

1) $(1 + \operatorname{ctg}\beta)^2 + (1 - \operatorname{ctg}\beta)^2$;

2) $\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha (\operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha + 2)$;

3) $\operatorname{tg}x + \frac{\cos x}{1 + \sin x}$;

4) $\frac{\cos\beta}{1 - \sin\beta} + \frac{1 - \sin\beta}{\cos\beta}$;

5) $\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \cdot \frac{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha}$;

6) $\frac{1 + \operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{ctg}\alpha}$;

7) $\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha - 1$;

8) $\operatorname{tg}(-\alpha)\operatorname{ctg}\alpha + \sin^2(-\alpha).$

1) $(1 + \operatorname{ctg} \beta)^2 + (1 - \operatorname{ctg} \beta)^2$

Для упрощения выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(1 + \operatorname{ctg} \beta)^2 + (1 - \operatorname{ctg} \beta)^2 = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg}^2 \beta) + (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg}^2 \beta) = (1 + 2\operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg}^2 \beta) + (1 - 2\operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg}^2 \beta)$

Приведем подобные слагаемые:

$1 + 2\operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg}^2 \beta + 1 - 2\operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg}^2 \beta = 2 + 2\operatorname{ctg}^2 \beta = 2(1 + \operatorname{ctg}^2 \beta)$

Применим тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 \beta = \frac{1}{\sin^2 \beta}$:

$2 \cdot \frac{1}{\sin^2 \beta} = \frac{2}{\sin^2 \beta}$

Ответ: $\frac{2}{\sin^2 \beta}$

2) $\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha (\operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha + 2)$

Заметим, что выражение в скобках можно преобразовать. Так как $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$, то $2 = 2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha$.

$\operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha + 2 = \operatorname{tg}^2 \alpha + 2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha = (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)^2$

Теперь преобразуем сумму тангенса и котангенса:

$\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Подставим это обратно в выражение:

$(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)^2 = \left(\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$

Теперь умножим на множитель перед скобками:

$\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 1$

Ответ: $1$

3) $\operatorname{tg} x + \frac{\cos x}{1 + \sin x}$

Заменим $\operatorname{tg} x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$ и приведем дроби к общему знаменателю $\cos x (1 + \sin x)$:

$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \frac{\sin x (1 + \sin x) + \cos x \cdot \cos x}{\cos x (1 + \sin x)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x (1 + \sin x)}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, упростим числитель:

$\frac{\sin x + 1}{\cos x (1 + \sin x)}$

Сократим дробь на $(1 + \sin x)$:

$\frac{1}{\cos x}$

Ответ: $\frac{1}{\cos x}$

4) $\frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta} + \frac{1 - \sin \beta}{\cos \beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \sin \beta)\cos \beta$:

$\frac{\cos \beta \cdot \cos \beta + (1 - \sin \beta)(1 - \sin \beta)}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{\cos^2 \beta + (1 - \sin \beta)^2}{(1 - \sin \beta)\cos \beta}$

Раскроем квадрат разности в числителе:

$\frac{\cos^2 \beta + 1 - 2\sin \beta + \sin^2 \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и применим тождество $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$:

$\frac{(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 1 - 2\sin \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{1 + 1 - 2\sin \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{2 - 2\sin \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta}$

Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(1 - \sin \beta)}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{2}{\cos \beta}$

Ответ: $\frac{2}{\cos \beta}$

5) $\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \cdot \frac{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha}$

Используем тригонометрические тождества $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$:

$\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1/\cos^2 \alpha} \cdot \frac{1/\sin^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha} = (\operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha) \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha \cdot \operatorname{ctg}^2 \alpha}$

Теперь заменим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\left(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha$

Ответ: $\operatorname{tg}^2 \alpha$

6) $\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg} \alpha}$

Заменим $\operatorname{ctg} \alpha$ на $\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$ в знаменателе:

$\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}}$

Приведем к общему знаменателю выражение в знаменателе дроби:

$\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{\frac{\operatorname{tg} \alpha + 1}{\operatorname{tg} \alpha}}$

Разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):

$(1 + \operatorname{tg} \alpha) \cdot \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha}$

Сократим на $(1 + \operatorname{tg} \alpha)$:

$\operatorname{tg} \alpha$

Ответ: $\operatorname{tg} \alpha$

7) $\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha - 1$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $\cos^2 \alpha$:

$\cos^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) - \cos^2 \alpha - 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$:

$\cos^2 \alpha \cdot 1 - \cos^2 \alpha - 1 = \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$0 - 1 = -1$

Ответ: $-1$

8) $\operatorname{tg}(-\alpha) \operatorname{ctg} \alpha + \sin^2(-\alpha)$

Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций:

$\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$ (тангенс - нечетная функция)

$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$ (синус - нечетная функция)

Подставим это в исходное выражение:

$(-\operatorname{tg} \alpha) \operatorname{ctg} \alpha + (-\sin \alpha)^2 = -\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha + \sin^2 \alpha$

Так как $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$, то выражение упрощается до:

$-1 + \sin^2 \alpha$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$.

Таким образом, $-1 + \sin^2 \alpha = -\cos^2 \alpha$.

Ответ: $-\cos^2 \alpha$

20.9. Найдите значения тригонометрических функций аргумента $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$;

2) $\sin \alpha = 0,6$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

3) $\operatorname{tg} \alpha = 2$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

1) Дано $\cos \alpha = \frac{1}{2}$.

Поскольку знак синуса не определён, рассмотрим два возможных случая, так как косинус положителен в I и IV четвертях.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, чтобы найти $\sin \alpha$.

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Отсюда $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Случай 1: Угол $\alpha$ находится в I четверти.

В I четверти все тригонометрические функции положительны.
$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Случай 2: Угол $\alpha$ находится в IV четверти.

В IV четверти синус и тангенс отрицательны.
$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: если $\alpha$ в I четверти, то $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3}$, $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$; если $\alpha$ в IV четверти, то $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg} \alpha = -\sqrt{3}$, $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Дано $\sin \alpha = 0,6$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Угол $\alpha$ находится во II четверти. В этой четверти косинус, тангенс и котангенс отрицательны.
Представим $0,6$ в виде дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Найдем $\cos \alpha$ из тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$.
Так как $\alpha$ во II четверти, $\cos \alpha < 0$, поэтому $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{3}{4}$, $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}$.

3) Дано $\operatorname{tg} \alpha = 2$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Угол $\alpha$ находится в III четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а котангенс положителен.

Найдем $\operatorname{ctg} \alpha$:
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{2}$.

Найдем $\cos \alpha$ из тождества $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + 2^2 = 5$.
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$.
$\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Так как $\alpha$ в III четверти, $\cos \alpha < 0$, поэтому $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Найдем $\sin \alpha$ из формулы $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\sin \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{2}$.

4) Дано $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Угол $\alpha$ находится в IV четверти. В этой четверти синус и тангенс отрицательны, а косинус положителен.

Найдем $\operatorname{tg} \alpha$:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$.

Найдем $\sin \alpha$ из тождества $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.
$\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$.
$\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$.
$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$.
Так как $\alpha$ в IV четверти, $\sin \alpha < 0$, поэтому $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$.

Найдем $\cos \alpha$ из формулы $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
$\cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha = \left(-\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$, $\cos \alpha = \frac{4}{5}$, $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{3}{4}$.

20.10. Найдите значения тригонометрических функций аргумента $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

2) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{4}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

3) $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{1}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha = -7$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1) Дано: $ \cos\alpha = \frac{12}{13} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

Аргумент $ \alpha $ находится в первой четверти, где все тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс) положительны.

Найдем $ \sin\alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $.

Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \sin\alpha > 0 $, поэтому $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12} $.

$ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{12}{5} $.

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{5}{13}, \operatorname{tg}\alpha = \frac{5}{12}, \operatorname{ctg}\alpha = \frac{12}{5} $.

2) Дано: $ \sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{4} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Аргумент $ \alpha $ находится в третьей четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

Найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16} $.

Так как $ \alpha $ находится в третьей четверти, $ \cos\alpha < 0 $, поэтому $ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{13}{16}} = -\frac{\sqrt{13}}{4} $.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\sqrt{3}/4}{-\sqrt{13}/4} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{39}}{13} $.

$ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3} $.

Ответ: $ \cos\alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}, \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{39}}{13}, \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sqrt{39}}{3} $.

3) Дано: $ \operatorname{tg}\alpha = -\frac{1}{3} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

Аргумент $ \alpha $ находится в четвертой четверти. Здесь косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.

Найдем $ \operatorname{ctg}\alpha $: $ \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{1}{-1/3} = -3 $.

Найдем $ \cos\alpha $ с помощью тождества $ 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $:

$ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (-\frac{1}{3})^2 = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9} $.

Отсюда $ \cos^2\alpha = \frac{9}{10} $. Так как $ \alpha $ в четвертой четверти, $ \cos\alpha > 0 $, поэтому $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $.

Найдем $ \sin\alpha $ из определения тангенса $ \sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha $:

$ \sin\alpha = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = -\frac{\sqrt{10}}{10} $.

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}, \cos\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}, \operatorname{ctg}\alpha = -3 $.

4) Дано: $ \operatorname{ctg}\alpha = -7 $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Аргумент $ \alpha $ находится во второй четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Найдем $ \operatorname{tg}\alpha $: $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha} = -\frac{1}{7} $.

Найдем $ \sin\alpha $ с помощью тождества $ 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $:

$ \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + (-7)^2 = 1 + 49 = 50 $.

Отсюда $ \sin^2\alpha = \frac{1}{50} $. Так как $ \alpha $ во второй четверти, $ \sin\alpha > 0 $, поэтому $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} $.

Найдем $ \cos\alpha $ из определения котангенса $ \cos\alpha = \operatorname{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha $:

$ \cos\alpha = (-7) \cdot \frac{\sqrt{2}}{10} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} $.

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{10}, \cos\alpha = -\frac{7\sqrt{2}}{10}, \operatorname{tg}\alpha = -\frac{1}{7} $.

20.11. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \cos \alpha - \sin \alpha;$

2) $\operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha;$

3) $\frac{\sqrt{3} - 2\sin \alpha}{2\cos \alpha - 1} = \frac{1 + 2\cos \alpha}{2\sin \alpha + \sqrt{3}};$

4) $\frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha} = -\operatorname{ctg}^6 \alpha;$

5) $\frac{\sin \alpha + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha;$

6) $\frac{\sin^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^4 \alpha.$

1) Преобразуем левую часть тождества. В числителе применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \sin \alpha \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 + \sin \alpha \cos \alpha)$, получим:

$\cos \alpha - \sin \alpha$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Преобразуем левую часть. Выразим тангенс через синус и косинус, используя $\text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$:

$\text{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha$

Вынесем общий множитель $\sin^2 \alpha$ за скобки:

$\sin^2 \alpha \left(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1\right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\sin^2 \alpha \left(\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)$

Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $1 - \cos^2 \alpha$ на $\sin^2 \alpha$:

$\sin^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \text{tg}^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

3) Тождество является пропорцией. Докажем его, воспользовавшись свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

$(\sqrt{3} - 2\sin \alpha)(2\sin \alpha + \sqrt{3}) = (2\cos \alpha - 1)(1 + 2\cos \alpha)$

К обеим частям равенства применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Преобразуем левую часть:

$(\sqrt{3} - 2\sin \alpha)(\sqrt{3} + 2\sin \alpha) = (\sqrt{3})^2 - (2\sin \alpha)^2 = 3 - 4\sin^2 \alpha$

Преобразуем правую часть:

$(2\cos \alpha - 1)(2\cos \alpha + 1) = (2\cos \alpha)^2 - 1^2 = 4\cos^2 \alpha - 1$

Проверим равенство $3 - 4\sin^2 \alpha = 4\cos^2 \alpha - 1$. Для этого преобразуем левую часть, используя $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$:

$3 - 4(1 - \cos^2 \alpha) = 3 - 4 + 4\cos^2 \alpha = 4\cos^2 \alpha - 1$

Полученное выражение совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

4) Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части тождества.

Числитель: $\text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha$. Заменим $\text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$ и вынесем общий множитель:

$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1\right) = \cos^2 \alpha \left(\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right)$

Используя $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$, получаем:

$\cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Знаменатель: $\sin^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha$. Заменим $\text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$ и вынесем общий множитель:

$\sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) = \sin^2 \alpha \left(\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha}\right)$

Используя $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$, получаем:

$\sin^2 \alpha \cdot \frac{-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = -\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{-\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = - \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} = - \frac{\cos^6 \alpha}{\sin^6 \alpha} = -\text{ctg}^6 \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

5) Преобразуем левую часть тождества. Заменим $\text{tg} \alpha$ на дробь $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$\frac{\sin \alpha + \text{tg} \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \cos \alpha}$

В числителе вынесем общий множитель $\sin \alpha$ за скобки:

$\frac{\sin \alpha \left(1 + \frac{1}{\cos \alpha}\right)}{1 + \cos \alpha}$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $\cos \alpha$:

$\frac{\sin \alpha \left(\frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha}\right)}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{\cos \alpha (1 + \cos \alpha)}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 + \cos \alpha)$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg} \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

6) Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в знаменателе.

Знаменатель: $\text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha$. Заменим $\text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$:

$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1\right) = \cos^2 \alpha \left(\frac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right)$

Используя $1-\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$, получаем:

$\cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в исходную дробь:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}$

Разделим числитель на знаменатель:

$\sin^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^4 = \text{tg}^4 \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.