Номер 20.8, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.8. Упростите выражение:

1) $(1 + \operatorname{ctg}\beta)^2 + (1 - \operatorname{ctg}\beta)^2$;

2) $\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha (\operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha + 2)$;

3) $\operatorname{tg}x + \frac{\cos x}{1 + \sin x}$;

4) $\frac{\cos\beta}{1 - \sin\beta} + \frac{1 - \sin\beta}{\cos\beta}$;

5) $\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \cdot \frac{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha}$;

6) $\frac{1 + \operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{ctg}\alpha}$;

7) $\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha - 1$;

8) $\operatorname{tg}(-\alpha)\operatorname{ctg}\alpha + \sin^2(-\alpha).$

1) $(1 + \operatorname{ctg} \beta)^2 + (1 - \operatorname{ctg} \beta)^2$

Для упрощения выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(1 + \operatorname{ctg} \beta)^2 + (1 - \operatorname{ctg} \beta)^2 = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg}^2 \beta) + (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg}^2 \beta) = (1 + 2\operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg}^2 \beta) + (1 - 2\operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg}^2 \beta)$

Приведем подобные слагаемые:

$1 + 2\operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg}^2 \beta + 1 - 2\operatorname{ctg} \beta + \operatorname{ctg}^2 \beta = 2 + 2\operatorname{ctg}^2 \beta = 2(1 + \operatorname{ctg}^2 \beta)$

Применим тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 \beta = \frac{1}{\sin^2 \beta}$:

$2 \cdot \frac{1}{\sin^2 \beta} = \frac{2}{\sin^2 \beta}$

Ответ: $\frac{2}{\sin^2 \beta}$

2) $\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha (\operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha + 2)$

Заметим, что выражение в скобках можно преобразовать. Так как $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$, то $2 = 2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha$.

$\operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha + 2 = \operatorname{tg}^2 \alpha + 2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha = (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)^2$

Теперь преобразуем сумму тангенса и котангенса:

$\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Подставим это обратно в выражение:

$(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)^2 = \left(\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$

Теперь умножим на множитель перед скобками:

$\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 1$

Ответ: $1$

3) $\operatorname{tg} x + \frac{\cos x}{1 + \sin x}$

Заменим $\operatorname{tg} x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$ и приведем дроби к общему знаменателю $\cos x (1 + \sin x)$:

$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \frac{\sin x (1 + \sin x) + \cos x \cdot \cos x}{\cos x (1 + \sin x)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x (1 + \sin x)}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, упростим числитель:

$\frac{\sin x + 1}{\cos x (1 + \sin x)}$

Сократим дробь на $(1 + \sin x)$:

$\frac{1}{\cos x}$

Ответ: $\frac{1}{\cos x}$

4) $\frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta} + \frac{1 - \sin \beta}{\cos \beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \sin \beta)\cos \beta$:

$\frac{\cos \beta \cdot \cos \beta + (1 - \sin \beta)(1 - \sin \beta)}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{\cos^2 \beta + (1 - \sin \beta)^2}{(1 - \sin \beta)\cos \beta}$

Раскроем квадрат разности в числителе:

$\frac{\cos^2 \beta + 1 - 2\sin \beta + \sin^2 \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и применим тождество $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$:

$\frac{(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 1 - 2\sin \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{1 + 1 - 2\sin \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{2 - 2\sin \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta}$

Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(1 - \sin \beta)}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{2}{\cos \beta}$

Ответ: $\frac{2}{\cos \beta}$

5) $\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \cdot \frac{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha}$

Используем тригонометрические тождества $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$:

$\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1/\cos^2 \alpha} \cdot \frac{1/\sin^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha} = (\operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha) \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha \cdot \operatorname{ctg}^2 \alpha}$

Теперь заменим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\left(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha$

Ответ: $\operatorname{tg}^2 \alpha$

6) $\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg} \alpha}$

Заменим $\operatorname{ctg} \alpha$ на $\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$ в знаменателе:

$\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}}$

Приведем к общему знаменателю выражение в знаменателе дроби:

$\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{\frac{\operatorname{tg} \alpha + 1}{\operatorname{tg} \alpha}}$

Разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):

$(1 + \operatorname{tg} \alpha) \cdot \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha}$

Сократим на $(1 + \operatorname{tg} \alpha)$:

$\operatorname{tg} \alpha$

Ответ: $\operatorname{tg} \alpha$

7) $\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha - 1$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $\cos^2 \alpha$:

$\cos^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) - \cos^2 \alpha - 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$:

$\cos^2 \alpha \cdot 1 - \cos^2 \alpha - 1 = \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$0 - 1 = -1$

Ответ: $-1$

8) $\operatorname{tg}(-\alpha) \operatorname{ctg} \alpha + \sin^2(-\alpha)$

Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций:

$\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$ (тангенс - нечетная функция)

$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$ (синус - нечетная функция)

Подставим это в исходное выражение:

$(-\operatorname{tg} \alpha) \operatorname{ctg} \alpha + (-\sin \alpha)^2 = -\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha + \sin^2 \alpha$

Так как $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$, то выражение упрощается до:

$-1 + \sin^2 \alpha$

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$.

Таким образом, $-1 + \sin^2 \alpha = -\cos^2 \alpha$.

Ответ: $-\cos^2 \alpha$