Номер 20.2, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.2. Упростите выражение:

1) $\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha + \text{ctg}^2 5\alpha$;

2) $\sin \frac{\alpha}{3} - \text{ctg} \frac{\alpha}{3}$;

3) $1 - \frac{1}{\sin^2 \gamma}$;

4) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha - 1} + \text{tg} \alpha \text{ ctg} \alpha$;

5) $(\text{tg} \alpha \cos \alpha)^2 + (\text{ctg} \alpha \sin \alpha)^2$;

6) $\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \text{ctg}^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1)}$;

7) $\left(\frac{1}{\cos \alpha} + \text{tg} \alpha\right)\left(\frac{1}{\cos \alpha} - \text{tg} \alpha\right)$;

8) $(\text{tg} \beta + \text{ctg} \beta)^2 - (\text{tg} \beta - \text{ctg} \beta)^2$.

1) Для упрощения выражения $\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha + \text{ctg}^2 5\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Применим его для $x = 2\alpha$:
$\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1$.
Тогда исходное выражение принимает вид:
$1 + \text{ctg}^2 5\alpha$.
Далее используем еще одно тригонометрическое тождество: $1 + \text{ctg}^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$. Применим его для $y = 5\alpha$.
Получаем: $1 + \text{ctg}^2 5\alpha = \frac{1}{\sin^2 5\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin^2 5\alpha}$

2) Для упрощения выражения $\sin \frac{\alpha}{3} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{3}$ используем определение котангенса: $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
Подставим это определение в выражение:
$\sin \frac{\alpha}{3} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{3} = \sin \frac{\alpha}{3} \cdot \frac{\cos \frac{\alpha}{3}}{\sin \frac{\alpha}{3}}$.
Сокращаем $\sin \frac{\alpha}{3}$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\sin \frac{\alpha}{3} \neq 0$):
$\cos \frac{\alpha}{3}$.
Ответ: $\cos \frac{\alpha}{3}$

3) Упростим выражение $1 - \frac{1}{\sin^2 \gamma}$. Приведем к общему знаменателю:
$1 - \frac{1}{\sin^2 \gamma} = \frac{\sin^2 \gamma}{\sin^2 \gamma} - \frac{1}{\sin^2 \gamma} = \frac{\sin^2 \gamma - 1}{\sin^2 \gamma}$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$ следует, что $\sin^2 \gamma - 1 = -\cos^2 \gamma$.
Подставим это в числитель:
$\frac{-\cos^2 \gamma}{\sin^2 \gamma} = - \left(\frac{\cos \gamma}{\sin \gamma}\right)^2$.
По определению котангенса $\text{ctg} \gamma = \frac{\cos \gamma}{\sin \gamma}$, поэтому выражение равно $-\text{ctg}^2 \gamma$.
Ответ: $-\text{ctg}^2 \gamma$

4) Рассмотрим выражение $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha - 1} + \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha$. Упростим каждую часть по отдельности.
Первая часть: $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha - 1}$. Из основного тригонометрического тождества имеем $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$ и $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.
$\frac{-\cos^2 \alpha}{-\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \text{ctg}^2 \alpha$.
Вторая часть: $\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha$. По определению, $\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1$ (при условии, что $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$).
Сложим упрощенные части:
$\text{ctg}^2 \alpha + 1$.
Используя тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, получаем конечный результат.
Ответ: $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$

5) Упростим выражение $(\text{tg} \alpha \cos \alpha)^2 + (\text{ctg} \alpha \sin \alpha)^2$.
Сначала упростим выражения в скобках. Используем определения тангенса $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и котангенса $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
$\text{tg} \alpha \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$.
$\text{ctg} \alpha \sin \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно:
$(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Ответ: $1$

6) Упростим выражение $\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \text{ctg}^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1)}$.
Сначала преобразуем знаменатель. Из основного тригонометрического тождества следует, что $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.
Знаменатель принимает вид: $1 + \text{ctg}^2 \alpha (-\sin^2 \alpha)$.
Подставим определение котангенса $\text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$:
$1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot (-\sin^2 \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha$.
Снова используя основное тригонометрическое тождество, получаем $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.
Таким образом, все выражение равно:
$\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$).
Ответ: $1$

7) Выражение $(\frac{1}{\cos \alpha} + \text{tg} \alpha)(\frac{1}{\cos \alpha} - \text{tg} \alpha)$ представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = \frac{1}{\cos \alpha}$ и $b = \text{tg} \alpha$.
Применяя формулу, получаем:
$\left(\frac{1}{\cos \alpha}\right)^2 - (\text{tg} \alpha)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha$.
Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Подставим его в наше выражение:
$(1 + \text{tg}^2 \alpha) - \text{tg}^2 \alpha = 1 + \text{tg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = 1$.
Ответ: $1$

8) Выражение $(\text{tg} \beta + \text{ctg} \beta)^2 - (\text{tg} \beta - \text{ctg} \beta)^2$ также является разностью квадратов $a^2 - b^2$, где $a = \text{tg} \beta + \text{ctg} \beta$ и $b = \text{tg} \beta - \text{ctg} \beta$.
Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Найдем $(a-b)$:
$(\text{tg} \beta + \text{ctg} \beta) - (\text{tg} \beta - \text{ctg} \beta) = \text{tg} \beta + \text{ctg} \beta - \text{tg} \beta + \text{ctg} \beta = 2 \text{ctg} \beta$.
Найдем $(a+b)$:
$(\text{tg} \beta + \text{ctg} \beta) + (\text{tg} \beta - \text{ctg} \beta) = \text{tg} \beta + \text{ctg} \beta + \text{tg} \beta - \text{ctg} \beta = 2 \text{tg} \beta$.
Перемножим полученные выражения:
$(2 \text{ctg} \beta)(2 \text{tg} \beta) = 4 \cdot \text{ctg} \beta \cdot \text{tg} \beta$.
Так как $\text{ctg} \beta \cdot \text{tg} \beta = 1$, то результат равен $4 \cdot 1 = 4$.
Ответ: $4$