Номер 1, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

1. Основным тригонометрическим тождеством называют равенство, которое связывает синус и косинус одного и того же угла. Оно гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла всегда равна единице.

Формула основного тригонометрического тождества выглядит следующим образом:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

где $\alpha$ — это произвольный угол.

Доказательство и объяснение:

Это тождество можно легко вывести из теоремы Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник, или с помощью единичной окружности.

1. Через прямоугольный треугольник:
Пусть есть прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Пусть $\alpha$ — один из острых углов (например, противолежащий катету $a$). По определению синуса и косинуса: $\sin\alpha = \frac{a}{c}$
$\cos\alpha = \frac{b}{c}$
По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
Теперь подставим определения синуса и косинуса в левую часть тождества:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2+b^2}{c^2}$
Заменив $a^2+b^2$ на $c^2$ из теоремы Пифагора, получаем:
$\frac{c^2}{c^2} = 1$

2. Через единичную окружность:
Рассмотрим единичную окружность (окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат). Каждому углу $\alpha$ на этой окружности соответствует точка $M$ с координатами $(x; y)$.
По определению, абсцисса этой точки равна косинусу угла, а ордината — синусу угла:
$x = \cos\alpha$
$y = \sin\alpha$
Уравнение любой окружности с центром в начале координат: $x^2 + y^2 = R^2$. Для единичной окружности ($R=1$) уравнение принимает вид: $x^2 + y^2 = 1$.
Подставив в это уравнение выражения для $x$ и $y$ через тригонометрические функции, получаем:
$(\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha)^2 = 1$
или
$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$

Это тождество является "основным", потому что из него выводится множество других тригонометрических соотношений, и оно является ключевым инструментом для упрощения выражений и решения уравнений в тригонометрии.

Ответ: Основным тригонометрическим тождеством называют равенство $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.