Номер 20.1, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1) $1 - \cos^2 \alpha;$

2) $\sin^2 \beta - 1;$

3) $\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi + 1;$

4) $1 - \sin^2 3\alpha - \cos^2 3\alpha;$

5) $\cos \alpha \operatorname{tg} \alpha;$

6) $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1;$

7) $1 - \sin^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha;$

8) $\cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha};$

9) $\frac{\sin^2 \beta}{1 - \sin^2 \beta} \cdot \operatorname{ctg}^2 \beta;$

10) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2.$

1) Для упрощения выражения $1 - \cos^2 \alpha$ используется основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Если из этого тождества выразить $\sin^2 \alpha$, мы получим $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$. Таким образом, исходное выражение равно $\sin^2 \alpha$.
Ответ: $\sin^2 \alpha$.

2) Для выражения $\sin^2 \beta - 1$ также используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$. Преобразуем его: $\sin^2 \beta - 1 = -\cos^2 \beta$. Другой способ — вынести минус за скобку: $\sin^2 \beta - 1 = -(1 - \sin^2 \beta)$. Так как $1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta$, получаем тот же результат.
Ответ: $-\cos^2 \beta$.

3) В выражении $\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi + 1$ первые два слагаемых, $\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi$, в сумме дают 1 согласно основному тригонометрическому тождеству. Таким образом, выражение упрощается до $1 + 1 = 2$.
Ответ: $2$.

4) В выражении $1 - \sin^2 3\alpha - \cos^2 3\alpha$ можно вынести минус за скобки у последних двух слагаемых: $1 - (\sin^2 3\alpha + \cos^2 3\alpha)$. Выражение в скобках является основным тригонометрическим тождеством для угла $3\alpha$ и равно 1. В результате получаем $1 - 1 = 0$.
Ответ: $0$.

5) Чтобы упростить выражение $\cos \alpha \cdot \tg \alpha$, нужно вспомнить определение тангенса: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Подставляем это определение в выражение: $\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. При условии, что $\cos \alpha \neq 0$, множители $\cos \alpha$ в числителе и знаменателе сокращаются, и остается $\sin \alpha$.
Ответ: $\sin \alpha$.

6) Выражение $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$ можно упростить, приведя к общему знаменателю: $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$. Числитель $1 - \cos^2 \alpha$ равен $\sin^2 \alpha$. Таким образом, дробь принимает вид $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$, что по определению равно $\tg^2 \alpha$. Также можно использовать тождество $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, из которого сразу следует, что $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \tg^2 \alpha$.
Ответ: $\tg^2 \alpha$.

7) В выражении $1 - \sin^2 \alpha + \ctg^2 \alpha \sin^2 \alpha$ заменим $\ctg^2 \alpha$ на $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$ (по определению котангенса). Получим: $1 - \sin^2 \alpha + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha$. Множители $\sin^2 \alpha$ сокращаются, и выражение принимает вид: $1 - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$. Сгруппируем слагаемые: $(1 - \sin^2 \alpha) + \cos^2 \alpha$. Из основного тождества $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$, поэтому получаем $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha$.
Ответ: $2\cos^2 \alpha$.

8) Для упрощения выражения $\cos^2 \alpha + \ctg^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ сгруппируем последние два члена: $\cos^2 \alpha + (\ctg^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha})$. Используем тождество $1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$, из которого следует, что $\ctg^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha} = -1$. Подставляем это значение в выражение: $\cos^2 \alpha + (-1) = \cos^2 \alpha - 1$. Из основного тригонометрического тождества $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.
Ответ: $-\sin^2 \alpha$.

9) В выражении $\frac{\sin^2 \beta}{1 - \sin^2 \beta} \cdot \ctg^2 \beta$ заменим знаменатель дроби $1 - \sin^2 \beta$ на $\cos^2 \beta$. Выражение примет вид: $\frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} \cdot \ctg^2 \beta$. Первый множитель $\frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}$ равен $\tg^2 \beta$. Получаем произведение $\tg^2 \beta \cdot \ctg^2 \beta$. Так как тангенс и котангенс — взаимно обратные функции ($\tg \beta \cdot \ctg \beta = 1$), то и произведение их квадратов равно $1^2 = 1$.
Ответ: $1$.

10) Чтобы упростить $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$, раскроем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
$(\sin^2 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2 \alpha)$.
При сложении этих двух выражений члены $2\sin\alpha\cos\alpha$ и $-2\sin\alpha\cos\alpha$ взаимно уничтожаются. Остается: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$. Сгруппируем слагаемые: $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$. Каждая скобка равна 1, следовательно, результат равен $1 + 1 = 2$.
Ответ: $2$.