Номер 3, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Какое тождество связывает котангенс и синус одного и того же угла?

Для каких значений угла верно это тождество?

Какое тождество связывает котангенс и синус одного и того же угла?

Для вывода тождества, связывающего котангенс и синус одного и того же угла $\alpha$, мы начнем с основного тригонометрического тождества:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Для того чтобы в формуле появился котангенс, вспомним его определение: $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Это определение предполагает, что $\sin\alpha \neq 0$.

Разделим обе части основного тригонометрического тождества на $\sin^2\alpha$ (при условии, что $\sin^2\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Упростим полученное выражение. Первое слагаемое равно 1, а второе можно представить как квадрат котангенса:

$1 + \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

В итоге мы получаем искомое тождество:

$1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Ответ: $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Для каких значений угла верно это тождество?

Это тождество верно для всех значений угла $\alpha$, для которых обе его части имеют смысл (определены).

1. Левая часть, $1 + \cot^2\alpha$, определена, когда определен $\cot\alpha$. Функция котангенса $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ определена при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\sin\alpha \neq 0$.

2. Правая часть, $\frac{1}{\sin^2\alpha}$, определена, когда ее знаменатель не равен нулю, то есть $\sin^2\alpha \neq 0$, что равносильно условию $\sin\alpha \neq 0$.

Таким образом, оба условия совпадают. Тождество верно для всех углов $\alpha$, для которых $\sin\alpha \neq 0$.

Выясним, при каких значениях $\alpha$ синус равен нулю. Это происходит, когда угол $\alpha$ является целым кратным числа $\pi$ (или 180°).

$\alpha = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, тождество верно для всех значений угла $\alpha$, кроме $\alpha = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Тождество верно для всех значений $\alpha$, при которых $\sin\alpha \neq 0$, то есть для $\alpha \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.