Номер 19.14, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.14. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{\text{tg} x})^2$;

2) $y = \text{ctg} x - \text{ctg}|x|$;

3) $y = \sqrt{-\text{ctg}^2 x}$;

4) $y = \frac{|\text{tg} x|}{\text{tg} x}$;

5) $y = \text{tg} x + \sqrt{\text{tg}^2 x}$;

6) $y = |\text{ctg} x|$.

1) $y = (\sqrt{\operatorname{tg} x})^2$

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\operatorname{tg} x \ge 0$.
Тангенс неотрицателен в первой и третьей координатных четвертях, что соответствует промежуткам $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
На этих промежутках функция упрощается: $y = (\sqrt{\operatorname{tg} x})^2 = \operatorname{tg} x$.
Следовательно, график данной функции — это части графика функции $y = \operatorname{tg} x$, которые лежат на указанных промежутках.
Ответ: График функции представляет собой совокупность ветвей графика $y = \operatorname{tg} x$ на интервалах $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg}|x|$

Область определения функции задается условиями $x \neq \pi n$ и $|x| \neq \pi k$ для $n, k \in \mathbb{Z}$. Это эквивалентно условию $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая, раскрывая модуль:
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$. Графиком является луч оси Ox ($y=0$) при $x > 0$, с выколотыми точками $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{N}$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg}(-x)$. Так как котангенс — нечетная функция ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), получаем: $y = \operatorname{ctg} x - (-\operatorname{ctg} x) = 2\operatorname{ctg} x$. Графиком является график функции $y=2\operatorname{ctg} x$ для $x < 0$.
Ответ: График состоит из двух частей: для $x>0$ это луч $y=0$ с выколотыми точками $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{N}$; для $x<0$ это график функции $y=2\operatorname{ctg} x$.

3) $y = \sqrt{-\operatorname{ctg}^2 x}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение неотрицательно: $-\operatorname{ctg}^2 x \ge 0$.
Поскольку $\operatorname{ctg}^2 x = (\operatorname{ctg} x)^2 \ge 0$ для всех $x$ из области определения котангенса, то $-\operatorname{ctg}^2 x \le 0$.
Единственная возможность, когда условие $-\operatorname{ctg}^2 x \ge 0$ выполняется, — это когда $-\operatorname{ctg}^2 x = 0$, то есть $\operatorname{ctg} x = 0$.
Котангенс равен нулю при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
При этих значениях $x$ функция принимает значение $y = \sqrt{-0^2} = 0$.
Таким образом, график состоит из набора изолированных точек.
Ответ: График функции представляет собой бесконечный набор точек на оси Ox с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \frac{|\operatorname{tg} x|}{\operatorname{tg} x}$

Функция определена при условии, что знаменатель не равен нулю, т.е. $\operatorname{tg} x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Также сам тангенс должен быть определен, т.е. $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $\operatorname{tg} x > 0$, что соответствует интервалам $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$, и функция равна $y = \frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x} = 1$.
2. Если $\operatorname{tg} x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$, и функция равна $y = \frac{-\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x} = -1$.
График состоит из горизонтальных интервалов.
Ответ: График функции — это совокупность интервалов прямых $y=1$ на промежутках $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ и прямых $y=-1$ на промежутках $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5) $y = \operatorname{tg} x + \sqrt{\operatorname{tg}^2 x}$

Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, упростим функцию: $y = \operatorname{tg} x + |\operatorname{tg} x|$.
Область определения функции совпадает с областью определения $\operatorname{tg} x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $\operatorname{tg} x \ge 0$, что соответствует промежуткам $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$. Функция принимает вид: $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = 2\operatorname{tg} x$.
2. Если $\operatorname{tg} x < 0$, что соответствует промежуткам $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$, то $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$. Функция принимает вид: $y = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 0$.
Ответ: График функции состоит из двух чередующихся частей: 1) график $y=2\operatorname{tg} x$ на промежутках $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$; 2) отрезки оси абсцисс $y=0$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6) $y = |\operatorname{ctg} x|$

Чтобы построить график функции $y = |\operatorname{ctg} x|$, нужно сначала построить график $y = \operatorname{ctg} x$.
Область определения: $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Правило построения графика $y=|f(x)|$: части графика $f(x)$, расположенные выше оси Ox и на ней, остаются без изменений, а части, расположенные ниже оси Ox, симметрично отражаются относительно оси Ox.
Таким образом, ветви графика $y=\operatorname{ctg} x$, где $\operatorname{ctg} x \ge 0$ (на интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n]$), остаются на месте.
Ветви графика, где $\operatorname{ctg} x < 0$ (на интервалах $(\frac{\pi}{2}+\pi n, \pi(n+1))$), отражаются вверх относительно оси абсцисс.
В результате весь график будет находиться в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).
Ответ: График функции $y = |\operatorname{ctg} x|$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ путем отражения частей графика, лежащих под осью Ox, в верхнюю полуплоскость. Части графика, лежащие над осью Ox, остаются без изменений.