Номер 19.8, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.8. Постройте график функции:

1) $y = \operatorname{ctg} x - 1$;

2) $y = \operatorname{ctg} \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

3) $y = \operatorname{ctg} \frac{x}{2}$.

1) Для построения графика функции $y = \ctg x - 1$ воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является $y = \ctg x$.

Заданная функция имеет вид $y = f(x) + a$, где $f(x) = \ctg x$ и $a = -1$. Такое преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = \ctg x$ вдоль оси ординат ($Oy$) на $|a|=1$ единицу вниз.

Алгоритм построения:

1. Построим график основной функции $y = \ctg x$. Это периодическая функция с основным периодом $T=\pi$. Ее область определения $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Прямые $x = \pi k$ являются вертикальными асимптотами графика. На основном интервале $(0, \pi)$ функция убывает от $+\infty$ до $-\infty$. Ключевые точки на этом интервале: $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -1)$.

2. Выполним сдвиг построенного графика на 1 единицу вниз. Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y = \ctg x$ переместится в точку $(x_0, y_0 - 1)$.

Проанализируем, как изменятся свойства функции:

Период: Останется без изменений, $T=\pi$.

Асимптоты: Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальных асимптот, они остаются прежними: $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Нули функции: Нули (точки пересечения с осью $Ox$) находятся из условия $y=0$, то есть $\ctg x - 1 = 0 \Rightarrow \ctg x = 1$. Отсюда $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ключевые точки: Ключевые точки графика $y = \ctg x$ смещаются вниз на 1. Например, для интервала $(0, \pi)$: - точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{4}, 0)$; - точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, -1)$; - точка $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{4}, -2)$.

Ответ: График функции $y = \ctg x - 1$ получается из графика $y = \ctg x$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

2) Для построения графика функции $y = \ctg(x + \frac{\pi}{3})$ также используем преобразование графика $y = \ctg x$.

Заданная функция имеет вид $y = f(x + b)$, где $f(x) = \ctg x$ и $b = \frac{\pi}{3}$. Такое преобразование представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = \ctg x$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) на $b = \frac{\pi}{3}$ единиц влево.

Алгоритм построения:

1. Строим график основной функции $y = \ctg x$ с ее асимптотами $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Выполняем сдвиг построенного графика на $\frac{\pi}{3}$ влево. Вместе с графиком сдвигаются и его асимптоты.

Проанализируем, как изменятся свойства функции:

Период: Останется без изменений, $T=\pi$.

Асимптоты: Сдвигаются влево на $\frac{\pi}{3}$. Их уравнения получаются из условия $x + \frac{\pi}{3} = \pi k$, то есть $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Например, асимптоты будут проходить через точки $x = -\frac{\pi}{3}$, $x = \frac{2\pi}{3}$, $x = \frac{5\pi}{3}$ и т.д.

Нули функции: Сдвигаются влево на $\frac{\pi}{3}$. Исходные нули $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Новые нули находятся из условия $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ключевые точки: Абсциссы ключевых точек уменьшаются на $\frac{\pi}{3}$, ординаты остаются прежними. Основная ветвь, которая для $y=\ctg x$ была на интервале $(0, \pi)$, теперь будет на интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$.

Ответ: График функции $y = \ctg(x + \frac{\pi}{3})$ получается из графика $y = \ctg x$ сдвигом на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево вдоль оси $Ox$.

3) Для построения графика функции $y = \ctg \frac{x}{2}$ используем преобразование графика $y = \ctg x$.

Заданная функция имеет вид $y = f(kx)$, где $f(x) = \ctg x$ и $k = \frac{1}{2}$. Такое преобразование представляет собой горизонтальное растяжение графика функции $y = \ctg x$ от оси ординат ($Oy$) в $\frac{1}{k} = 2$ раза.

Алгоритм построения:

1. Строим график основной функции $y = \ctg x$.

2. Выполняем растяжение этого графика в 2 раза вдоль оси $Ox$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y = \ctg x$ переместится в точку $(2x_0, y_0)$.

Проанализируем, как изменятся свойства функции:

Период: Увеличится в 2 раза. Новый период $T' = \frac{T}{|k|} = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

Асимптоты: Расстояние между асимптотами увеличится в 2 раза. Их уравнения получаются из условия $\frac{x}{2} = \pi k$, то есть $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Асимптотами будут прямые $x=0$, $x=2\pi$, $x=-2\pi$ и т.д.

Нули функции: Растягиваются в 2 раза от оси $Oy$. Исходные нули $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Новые нули находятся из условия $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ключевые точки: Абсциссы ключевых точек умножаются на 2, ординаты остаются прежними. Для основной ветви на интервале $(0, 2\pi)$: - точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ из графика $y=\ctg x$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, 1)$; - точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\pi, 0)$; - точка $(\frac{3\pi}{4}, -1)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{2}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \ctg \frac{x}{2}$ получается из графика $y = \ctg x$ путем его растяжения в 2 раза от оси $Oy$ вдоль оси $Ox$.