Номер 19.4, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.4. Какие из чисел $ -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, 3\pi: $

1) являются нулями функции $ y = \operatorname{tg} x; $

2) не принадлежат области определения функции $ y = \operatorname{tg} x? $

1) являются нулями функции $y = \tg x$;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. В данном случае нам нужно найти такие числа из списка, для которых $y = \tg x = 0$.

Функция тангенса определяется через синус и косинус как $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Равенство $\tg x = 0$ выполняется тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то есть $\sin x = 0$ и $\cos x \neq 0$.

Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). При этих значениях $x$ косинус равен $\pm 1$, то есть не равен нулю.

Теперь выберем из предложенного списка числа, которые имеют вид $k\pi$:

• $-\frac{3\pi}{2}$ не является целым кратным $\pi$.
• $-\pi = (-1) \cdot \pi$. Это нуль функции.
• $-\frac{\pi}{2}$ не является целым кратным $\pi$.
• $0 = 0 \cdot \pi$. Это нуль функции.
• $\frac{\pi}{3}$ не является целым кратным $\pi$.
• $\frac{\pi}{2}$ не является целым кратным $\pi$.
• $\frac{5\pi}{2}$ не является целым кратным $\pi$.
• $3\pi = 3 \cdot \pi$. Это нуль функции.

Ответ: $-\pi, 0, 3\pi$.

2) не принадлежат области определения функции $y = \tg x$?

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена (имеет смысл).

Функция $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена, когда ее знаменатель равен нулю, то есть когда $\cos x = 0$.

Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь выберем из предложенного списка числа, которые имеют вид $\frac{\pi}{2} + k\pi$:

• $-\frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi}{2} + (-2)\pi$. Это точка, где функция не определена.
• $-\pi$. Здесь $\cos(-\pi) = -1 \neq 0$. Точка принадлежит области определения.
• $-\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2} + (-1)\pi$. Это точка, где функция не определена.
• $0$. Здесь $\cos(0) = 1 \neq 0$. Точка принадлежит области определения.
• $\frac{\pi}{3}$. Здесь $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \neq 0$. Точка принадлежит области определения.
• $\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 0 \cdot \pi$. Это точка, где функция не определена.
• $\frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi$. Это точка, где функция не определена.
• $3\pi$. Здесь $\cos(3\pi) = -1 \neq 0$. Точка принадлежит области определения.

Ответ: $-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$.