Номер 19.6, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.6. Сравните:

1) $tg 100^{\circ}$ и $tg 92^{\circ}$;

2) $ctg 100^{\circ}$ и $ctg 92^{\circ}$;

3) $tg \frac{2\pi}{9}$ и $tg \frac{5\pi}{18}$;

4) $ctg \frac{3\pi}{8}$ и $ctg \frac{5\pi}{12}$;

5) $tg (-1)$ и $tg (-1,2)$;

6) $ctg (-3)$ и $ctg (-3,1)$.

1) tg 100° и tg 92°

Оба угла, $100°$ и $92°$, принадлежат второй координатной четверти, то есть находятся в интервале $(90°; 180°)$. На этом интервале функция $y = \mathrm{tg}(x)$ является возрастающей. Поскольку $100° > 92°$, то, в силу возрастания функции, значение тангенса для большего угла будет больше. Следовательно, $\mathrm{tg}(100°) > \mathrm{tg}(92°)$.

Ответ: $\mathrm{tg}(100°) > \mathrm{tg}(92°)$.

2) ctg 100° и ctg 92°

Оба угла, $100°$ и $92°$, принадлежат второй координатной четверти. Функция $y = \mathrm{ctg}(x)$ является убывающей на всей своей области определения, в том числе и на интервале $(0°; 180°)$. Поскольку $100° > 92°$, то, в силу убывания функции, значение котангенса для большего угла будет меньше. Следовательно, $\mathrm{ctg}(100°) < \mathrm{ctg}(92°)$.

Ответ: $\mathrm{ctg}(100°) < \mathrm{ctg}(92°)$.

3) tg $\frac{2\pi}{9}$ и tg $\frac{5\pi}{18}$

Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{2\pi}{9} = \frac{4\pi}{18}$. Теперь нам нужно сравнить $\mathrm{tg}(\frac{4\pi}{18})$ и $\mathrm{tg}(\frac{5\pi}{18})$. Оба угла, $\frac{4\pi}{18}$ и $\frac{5\pi}{18}$, принадлежат первой координатной четверти, так как $0 < \frac{4\pi}{18} < \frac{5\pi}{18} < \frac{\pi}{2}$ (где $\frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{18}$). На интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ функция $y = \mathrm{tg}(x)$ является возрастающей. Поскольку $\frac{5\pi}{18} > \frac{4\pi}{18}$, то $\mathrm{tg}(\frac{5\pi}{18}) > \mathrm{tg}(\frac{4\pi}{18})$. Таким образом, $\mathrm{tg}(\frac{5\pi}{18}) > \mathrm{tg}(\frac{2\pi}{9})$.

Ответ: $\mathrm{tg}(\frac{2\pi}{9}) < \mathrm{tg}(\frac{5\pi}{18})$.

4) ctg $\frac{3\pi}{8}$ и ctg $\frac{5\pi}{12}$

Приведем углы к общему знаменателю 24: $\frac{3\pi}{8} = \frac{9\pi}{24}$ и $\frac{5\pi}{12} = \frac{10\pi}{24}$. Оба угла принадлежат первой координатной четверти, так как $0 < \frac{9\pi}{24} < \frac{10\pi}{24} < \frac{\pi}{2}$ (где $\frac{\pi}{2} = \frac{12\pi}{24}$). На интервале $(0; \pi)$ функция $y = \mathrm{ctg}(x)$ является убывающей. Поскольку $\frac{10\pi}{24} > \frac{9\pi}{24}$, то, в силу убывания функции, $\mathrm{ctg}(\frac{10\pi}{24}) < \mathrm{ctg}(\frac{9\pi}{24})$. Следовательно, $\mathrm{ctg}(\frac{5\pi}{12}) < \mathrm{ctg}(\frac{3\pi}{8})$.

Ответ: $\mathrm{ctg}(\frac{3\pi}{8}) > \mathrm{ctg}(\frac{5\pi}{12})$.

5) tg (–1) и tg (–1,2)

Аргументы -1 и -1,2 — это углы, выраженные в радианах. Приблизительное значение $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Таким образом, оба угла принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, так как $-\frac{\pi}{2} < -1,2 < -1 < 0$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция $y = \mathrm{tg}(x)$ является возрастающей. Поскольку $-1 > -1,2$, то $\mathrm{tg}(-1) > \mathrm{tg}(-1,2)$.

Ответ: $\mathrm{tg}(-1) > \mathrm{tg}(-1,2)$.

6) ctg (–3) и ctg (–3,1)

Аргументы -3 и -3,1 — это углы, выраженные в радианах. Приблизительное значение $\pi \approx 3,14$. Таким образом, оба угла принадлежат интервалу $(-\pi; 0)$, так как $-\pi < -3,1 < -3 < 0$. На интервале $(-\pi; 0)$ функция $y = \mathrm{ctg}(x)$ является убывающей. Поскольку $-3 > -3,1$, то, в силу убывания функции, $\mathrm{ctg}(-3) < \mathrm{ctg}(-3,1)$.

Ответ: $\mathrm{ctg}(-3) < \mathrm{ctg}(-3,1)$.