Номер 2, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Перечислите основные свойства функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Область определения

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ определяется как отношение $\frac{\cos x}{\sin x}$. Следовательно, она не определена в точках, где знаменатель $\sin x$ обращается в нуль. Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Область определения — все действительные числа, кроме $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. В виде множества: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$.

Область (множество) значений

Функция котангенс может принимать любые действительные значения. Когда $x$ приближается к точкам разрыва (например, к 0 справа), $\operatorname{ctg} x \to +\infty$. Когда $x$ приближается к точкам разрыва (например, к $\pi$ слева), $\operatorname{ctg} x \to -\infty$.

Ответ: Область значений — множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

Периодичность

Функция является периодической. Наименьший положительный период $T = \pi$. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\operatorname{ctg}(x + \pi) = \operatorname{ctg} x$.

Ответ: Функция периодическая с главным периодом $T = \pi$.

Четность

Проверим значение функции для $-x$: $\operatorname{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\operatorname{ctg} x$. Так как выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: Функция нечетная.

Нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Уравнение $\operatorname{ctg} x = 0$ равносильно уравнению $\cos x = 0$ (при условии, что $\sin x \neq 0$). Решениями уравнения $\cos x = 0$ являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Нули функции находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства

Знак функции $\operatorname{ctg} x$ зависит от знаков $\cos x$ и $\sin x$.

$\operatorname{ctg} x > 0$ (положительна), когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III координатных четвертях, то есть на интервалах $(\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

$\operatorname{ctg} x < 0$ (отрицательна), когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют разные знаки. Это происходит во II и IV координатных четвертях, то есть на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция положительна на интервалах $(\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$, и отрицательна на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

Монотонность (промежутки возрастания и убывания)

Производная функции: $y' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Так как $\sin^2 x > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' < 0$ всегда. Это означает, что функция монотонно убывает на каждом интервале своей области определения.

Ответ: Функция убывает на всей области определения, то есть на каждом из интервалов вида $(\pi n; \pi(n+1)), n \in \mathbb{Z}$.

Экстремумы

Поскольку производная функции $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ никогда не обращается в нуль и существует во всей области определения функции, у функции нет критических точек, а значит, нет и точек экстремума (максимумов и минимумов).

Ответ: Экстремумов нет.

Асимптоты

Функция имеет вертикальные асимптоты в точках разрыва, то есть там, где знаменатель $\sin x$ равен нулю. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

Ответ: Вертикальные асимптоты — прямые вида $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.