Номер 18.17, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.17. Постройте график функции, укажите область значений данной функции, её нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания; определите, какие наибольшее и наименьшее значения может принимать функция и при каких значениях аргумента:

1) $y = \sin x + 1;$

2) $y = \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right);$

3) $y = \sin 2x;$

4) $y = -\frac{1}{2}\sin x.$

График функции: График данной функции получается из графика функции $y = \sin x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Область значений: Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-1 + 1 \le \sin x + 1 \le 1 + 1$. Следовательно, область значений функции $E(y) = [0; 2]$.

Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
$\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1$.
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства: Так как область значений функции $[0; 2]$, функция не принимает отрицательных значений ($y < 0$). Функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех значениях $x$, кроме тех, где $y=0$.
$y > 0$ при $x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

Промежутки возрастания и убывания: Преобразование сдвига вверх не меняет характер монотонности функции. Промежутки возрастания и убывания совпадают с таковыми для $y = \sin x$.
Функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение $y_{max} = 2$ достигается, когда $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min} = 0$ достигается, когда $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
Область значений: $[0; 2]$.
Нули функции: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; нет промежутков, где $y < 0$.
Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Наибольшее значение $y_{max}=2$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min}=0$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

График функции: График данной функции получается из графика функции $y = \sin x$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox.

Область значений: Сдвиг по горизонтали не влияет на область значений. $E(y) = [-1; 1]$.

Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies x - \frac{\pi}{4} = \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k \implies \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $\pi + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2\pi k \implies \frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания: Промежутки монотонности сдвигаются на $\frac{\pi}{4}$ вправо.
Функция возрастает, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies [\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение $y_{max} = 1$ достигается, когда $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1 \implies x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min} = -1$ достигается, когда $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -1 \implies x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
Область значений: $[-1; 1]$.
Нули функции: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k)$; $y < 0$ на $(\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Наибольшее значение $y_{max}=1$ при $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min}=-1$ при $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

График функции: График данной функции получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия в 2 раза к оси Oy. Период функции $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Область значений: Горизонтальное сжатие не влияет на область значений. $E(y) = [-1; 1]$.

Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
$\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $2\pi k < 2x < \pi + 2\pi k \implies \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $\pi + 2\pi k < 2x < 2\pi + 2\pi k \implies \frac{\pi}{2} + \pi k < x < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания: Интервалы монотонности сжимаются в 2 раза.
Функция возрастает, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies [-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \implies [\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение $y_{max} = 1$ достигается, когда $\sin 2x = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min} = -1$ достигается, когда $\sin 2x = -1 \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
Область значений: $[-1; 1]$.
Нули функции: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$; $y < 0$ на $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Наибольшее значение $y_{max}=1$ при $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min}=-1$ при $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

График функции: График данной функции получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия к оси Ox в 2 раза и последующего симметричного отражения относительно оси Ox.

Область значений: Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-\frac{1}{2} \cdot 1 \le -\frac{1}{2}\sin x \le -\frac{1}{2} \cdot (-1)$. Следовательно, $E(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

Нули функции: Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
$-\frac{1}{2}\sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $-\frac{1}{2}\sin x > 0 \implies \sin x < 0$. Это происходит на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $-\frac{1}{2}\sin x < 0 \implies \sin x > 0$. Это происходит на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки возрастания и убывания: Умножение на отрицательное число меняет характер монотонности на противоположный.
Функция возрастает там, где $y = \sin x$ убывает: $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает там, где $y = \sin x$ возрастает: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее значение $y_{max} = \frac{1}{2}$ достигается, когда $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min} = -\frac{1}{2}$ достигается, когда $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ:
Область значений: $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.
Нули функции: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$; $y < 0$ на $(2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки возрастания: $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Промежутки убывания: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Наибольшее значение $y_{max}=\frac{1}{2}$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Наименьшее значение $y_{min}=-\frac{1}{2}$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.