Номер 18.21, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.21. Найдите нули функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1};$

2) $f(x) = \sqrt{x^2 + 9};$

3) $f(x) = x\sqrt{x - 1};$

4) $f(x) = \sqrt{|x| - 2}.$

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $f(x) = 0$.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0, \\ x - 1 \ne 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Теперь проверим второе условие системы: $x - 1 \ne 0$, что означает $x \ne 1$.

Из найденных корней ($x_1 = 1$ и $x_2 = 2$) корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \ne 1$, поэтому он не является нулем функции (в этой точке функция не определена).

Единственным нулем функции является $x = 2$.

Ответ: 2.

2) $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\sqrt{x^2 + 9} = 0$

Область определения функции задается условием $x^2 + 9 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 9$ всегда будет больше или равно 9. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x^2 + 9 = 0$

$x^2 = -9$

Данное уравнение не имеет действительных корней, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у функции нет нулей.

Ответ: нулей нет.

3) $f(x) = x\sqrt{x - 1}$

Приравниваем функцию к нулю:

$x\sqrt{x - 1} = 0$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x = 0$

2. $\sqrt{x - 1} = 0$

В первом случае $x = 0$. Это значение не входит в область определения функции ($x \ge 1$), поэтому не является ее нулем.

Во втором случае $\sqrt{x - 1} = 0$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Это значение принадлежит области определения ($1 \ge 1$), следовательно, является нулем функции.

Таким образом, функция имеет единственный нуль.

Ответ: 1.

4) $f(x) = \sqrt{|x| - 2}$

Приравниваем функцию к нулю:

$\sqrt{|x| - 2} = 0$

Область определения функции задается условием $|x| - 2 \ge 0$, то есть $|x| \ge 2$. Это неравенство выполняется при $x \ge 2$ или $x \le -2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$|x| - 2 = 0$

$|x| = 2$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим, входят ли найденные корни в область определения. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $|x| \ge 2$. Корень $x_2 = -2$ также удовлетворяет условию $|x| \ge 2$. Оба корня принадлежат области определения функции.

Следовательно, функция имеет два нуля.

Ответ: -2; 2.