Номер 18.15, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1)

Для функции $y = (\sqrt{\sin x})^2$ необходимо сначала найти область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $\sin x \ge 0$.

Это неравенство справедливо для $x$, принадлежащих отрезкам $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На этой области определения функция упрощается: $y = (\sqrt{\sin x})^2 = \sin x$.

Следовательно, график искомой функции совпадает с графиком функции $y = \sin x$ на тех промежутках, где $\sin x \ge 0$. Это "положительные" полуволны синусоиды.

Ответ: График функции представляет собой совокупность дуг синусоиды $y = \sin x$, лежащих над осью Ox на отрезках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ для всех целых $k$.

2)

Рассмотрим функцию $y = \sin x + \sin|x|$. Для построения ее графика необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sin x + \sin x = 2\sin x$. Таким образом, для всех неотрицательных $x$ график функции совпадает с графиком $y = 2\sin x$ (синусоида с амплитудой 2).

Случай 2: $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \sin x + \sin(-x)$. Поскольку синус является нечетной функцией, $\sin(-x) = -\sin x$. Тогда $y = \sin x - \sin x = 0$. Таким образом, для всех отрицательных $x$ график функции — это луч $y=0$, совпадающий с отрицательной частью оси Ox.

Ответ: График функции состоит из двух частей: луча $y = 0$ для $x < 0$ и графика функции $y = 2\sin x$ для $x \ge 0$.

3)

Рассмотрим функцию $y = \cos x + \sqrt{\cos^2 x}$.

Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, мы можем упростить функцию: $y = \cos x + |\cos x|$.

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака $\cos x$.

Случай 1: $\cos x \ge 0$.
Это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и функция становится $y = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

Случай 2: $\cos x < 0$.
Это условие выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и функция становится $y = \cos x - \cos x = 0$.

Ответ: График функции совпадает с графиком $y = 2\cos x$ на промежутках, где $\cos x \ge 0$, и с осью Ox ($y=0$) на промежутках, где $\cos x < 0$.

4)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{-\sin^2 x}$.

Область определения функции задается условием, что выражение под корнем неотрицательно: $-\sin^2 x \ge 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $\sin^2 x \ge 0$ для всех $x$. Умножив на -1, получаем $-\sin^2 x \le 0$.

Единственный способ удовлетворить обоим условиям ($-\sin^2 x \ge 0$ и $-\sin^2 x \le 0$) — это равенство $-\sin^2 x = 0$, что означает $\sin x = 0$.

Решениями уравнения $\sin x = 0$ являются $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При этих значениях $x$ функция $y$ равна $\sqrt{0} = 0$.

Ответ: График функции состоит из набора изолированных точек на оси абсцисс: $(\pi k, 0)$, где $k$ — любое целое число. Например, точки $(\dots, -2\pi, 0), (-\pi, 0), (0, 0), (\pi, 0), (2\pi, 0), \dots)$.

5)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{\cos x - 1}$.

Область определения функции задается условием $\cos x - 1 \ge 0$, что эквивалентно $\cos x \ge 1$.

Поскольку множество значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, единственное значение, при котором выполняется условие $\cos x \ge 1$, — это $\cos x = 1$.

Решениями этого уравнения являются $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

При этих значениях $x$ функция $y$ равна $\sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: График функции состоит из набора изолированных точек на оси абсцисс: $(2\pi k, 0)$, где $k$ — любое целое число. Например, точки $(\dots, -4\pi, 0), (-2\pi, 0), (0, 0), (2\pi, 0), (4\pi, 0), \dots)$.

6)

Рассмотрим функцию $y = \frac{\sin x}{|\sin x|}$.

Область определения функции задается условием, что знаменатель не равен нулю: $|\sin x| \ne 0$, что означает $\sin x \ne 0$. Таким образом, $x \ne \pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках на графике будут выколотые точки.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sin x > 0$.
Это происходит на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. На этих интервалах $|\sin x| = \sin x$, и функция равна $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$.

Случай 2: $\sin x < 0$.
Это происходит на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$. На этих интервалах $|\sin x| = -\sin x$, и функция равна $y = \frac{\sin x}{-\sin x} = -1$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность горизонтальных интервалов. На интервалах вида $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$ график — это прямая $y=1$. На интервалах вида $(\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1))$ график — это прямая $y=-1$. В точках $x = \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$) функция не определена (выколотые точки).