Номер 18.9, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.9. Сравните:

1) $sin 20^\circ$ и $sin 21^\circ$;

2) $cos 20^\circ$ и $cos 21^\circ$;

3) $sin \frac{10\pi}{9}$ и $sin \frac{25\pi}{18}$;

4) $cos \frac{10\pi}{9}$ и $cos \frac{25\pi}{18}$;

5) $cos 5.1$ и $cos 5$;

6) $sin 2$ и $sin 2.1$.

1) Углы $20^\circ$ и $21^\circ$ принадлежат первой четверти ($0^\circ < x < 90^\circ$). На этом промежутке функция $y = \sin x$ возрастает. Так как $20^\circ < 21^\circ$, то $\sin 20^\circ < \sin 21^\circ$.
Ответ: $\sin 20^\circ < \sin 21^\circ$.

2) Углы $20^\circ$ и $21^\circ$ принадлежат первой четверти ($0^\circ < x < 90^\circ$). На этом промежутке функция $y = \cos x$ убывает. Так как $20^\circ < 21^\circ$, то $\cos 20^\circ > \cos 21^\circ$.
Ответ: $\cos 20^\circ > \cos 21^\circ$.

3) Для сравнения $\sin \frac{10\pi}{9}$ и $\sin \frac{25\pi}{18}$ приведем углы к общему знаменателю: $\frac{10\pi}{9} = \frac{20\pi}{18}$.
Теперь нужно сравнить $\sin\frac{20\pi}{18}$ и $\sin\frac{25\pi}{18}$.
Оба угла находятся в третьей четверти, так как $\pi = \frac{18\pi}{18} < \frac{20\pi}{18} < \frac{25\pi}{18} < \frac{27\pi}{18} = \frac{3\pi}{2}$.
На промежутке $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$ функция $y = \sin x$ убывает. Так как $\frac{20\pi}{18} < \frac{25\pi}{18}$, то $\sin\frac{20\pi}{18} > \sin\frac{25\pi}{18}$.
Ответ: $\sin\frac{10\pi}{9} > \sin\frac{25\pi}{18}$.

4) Для сравнения $\cos\frac{10\pi}{9}$ и $\cos\frac{25\pi}{18}$ приведем углы к общему знаменателю: $\frac{10\pi}{9} = \frac{20\pi}{18}$.
Сравниваем $\cos\frac{20\pi}{18}$ и $\cos\frac{25\pi}{18}$.
Оба угла находятся в третьей четверти ($\pi < x < \frac{3\pi}{2}$). На этом промежутке функция $y = \cos x$ возрастает (значения меняются от -1 до 0).
Так как $\frac{20\pi}{18} < \frac{25\pi}{18}$, то $\cos\frac{20\pi}{18} < \cos\frac{25\pi}{18}$.
Ответ: $\cos\frac{10\pi}{9} < \cos\frac{25\pi}{18}$.

5) Сравним значения углов 5,1 и 5 (в радианах). Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
Определим, в какой четверти находятся углы:
$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14}{2} = 4,71$.
$2\pi \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28$.
Так как $4,71 < 5 < 5,1 < 6,28$, оба угла принадлежат четвертой четверти ($ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi $).
На этом промежутке функция $y = \cos x$ возрастает. Поскольку $5 < 5,1$, то $\cos 5 < \cos 5,1$.
Ответ: $\cos 5 < \cos 5,1$.

6) Сравним значения углов 2 и 2,1 (в радианах). Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
Определим, в какой четверти находятся углы:
$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$.
$\pi \approx 3,14$.
Так как $1,57 < 2 < 2,1 < 3,14$, оба угла принадлежат второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < x < \pi $).
На этом промежутке функция $y = \sin x$ убывает. Поскольку $2 < 2,1$, то $\sin 2 > \sin 2,1$.
Ответ: $\sin 2 > \sin 2,1$.