Номер 18.5, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.5. На каких из указанных промежутков функция $y = \sin x$ возрастает:

1) $[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} ]$; 2) $[ - \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} ]$; 3) $[ - \frac{3\pi}{2}; - \frac{\pi}{2} ]$; 4) $[ - \frac{5\pi}{2}; - \frac{3\pi}{2} ]$?

Для того чтобы определить, на каких промежутках функция $y = \sin x$ возрастает, необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых производная неотрицательна.

Производная функции $y = \sin x$ есть $y' = \cos x$.

Функция $y = \sin x$ возрастает тогда, когда ее производная $y' \ge 0$, то есть $\cos x \ge 0$.

Это неравенство справедливо для $x$, принадлежащих промежуткам вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число.

Проанализируем каждый из предложенных промежутков.

1) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Этот промежуток получается из общей формулы $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ при $k=0$. На всем этом промежутке $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.

Ответ: на этом промежутке функция возрастает.

2) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Этот промежуток можно разбить на два: $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$. На первом промежутке, как мы выяснили, функция возрастает ($\cos x \ge 0$). На втором промежутке, $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, косинус неположителен ($\cos x \le 0$), поэтому функция $y = \sin x$ убывает. Так как на части данного промежутка функция убывает, она не является возрастающей на всем промежутке.

Ответ: на этом промежутке функция не является возрастающей.

3) $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$

На этом промежутке значение $\cos x$ неположительно ($\cos x \le 0$). Этот промежуток является одним из промежутков убывания функции $y = \sin x$. Он соответствует промежутку $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ со сдвигом на один период влево ($k=-1$). Таким образом, на всем этом промежутке функция убывает.

Ответ: на этом промежутке функция убывает, а не возрастает.

4) $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$

Этот промежуток получается из общей формулы промежутков возрастания $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ при $k=-1$:

$[-\frac{\pi}{2} + 2\pi(-1); \frac{\pi}{2} + 2\pi(-1)] = [-\frac{\pi}{2} - 2\pi; \frac{\pi}{2} - 2\pi] = [-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$.

На всем этом промежутке $\cos x \ge 0$, следовательно, функция $y = \sin x$ возрастает.

Ответ: на этом промежутке функция возрастает.