Номер 17.10, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.10. Вычислите значение выражения:

1) $ \sqrt{7} \cdot \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[6]{7}; $

2) $ \sqrt[3]{3\sqrt{3}} \cdot \sqrt[5]{27}; $

3) $ \frac{\sqrt[3]{4\sqrt{2}}}{\sqrt[4]{8\sqrt[3]{2}}}. $

1) Для того чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{7} \cdot \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[6]{7}$, воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ и представим каждый множитель в виде степени с рациональным показателем:
$\sqrt{7} = 7^{1/2}$
$\sqrt[3]{7} = 7^{1/3}$
$\sqrt[6]{7} = 7^{1/6}$
Теперь исходное выражение можно записать так:
$7^{1/2} \cdot 7^{1/3} \cdot 7^{1/6}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$7^{1/2 + 1/3 + 1/6}$
Найдем сумму показателей, приведя дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
Таким образом, получаем:
$7^1 = 7$
Ответ: 7

2) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{3\sqrt[5]{3}} \cdot \sqrt[5]{27}$. Упростим его по частям, используя свойства степеней и корней.
Сначала упростим первый множитель $\sqrt[3]{3\sqrt[5]{3}}$. Для этого внесем множитель 3 под внутренний корень:
$3\sqrt[5]{3} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 3} = \sqrt[5]{3^{5+1}} = \sqrt[5]{3^6}$
Теперь подставим это обратно в первый множитель:
$\sqrt[3]{\sqrt[5]{3^6}}$
По свойству $(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[n \cdot k]{a})$ получаем:
$\sqrt[3 \cdot 5]{3^6} = \sqrt[15]{3^6} = 3^{6/15} = 3^{2/5}$
Теперь упростим второй множитель $\sqrt[5]{27}$:
Так как $27 = 3^3$, то $\sqrt[5]{27} = \sqrt[5]{3^3} = 3^{3/5}$.
Перемножим полученные результаты:
$3^{2/5} \cdot 3^{3/5} = 3^{2/5 + 3/5} = 3^{5/5} = 3^1 = 3$
Ответ: 3

3) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{\sqrt[3]{4\sqrt{2}}}{\sqrt[4]{8\sqrt[3]{2}}}$, преобразуем числитель и знаменатель дроби.
Упростим числитель $\sqrt[3]{4\sqrt{2}}$:
Внесем 4 под знак внутреннего корня: $4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$.
$\sqrt[3]{\sqrt{32}} = \sqrt[3 \cdot 2]{32} = \sqrt[6]{32}$.
Представим 32 как степень двойки: $32 = 2^5$.
Числитель равен $\sqrt[6]{2^5} = 2^{5/6}$.
Упростим знаменатель $\sqrt[4]{8\sqrt[3]{2}}$:
Внесем 8 под знак внутреннего корня: $8\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{512 \cdot 2} = \sqrt[3]{1024}$.
$\sqrt[4]{\sqrt[3]{1024}} = \sqrt[4 \cdot 3]{1024} = \sqrt[12]{1024}$.
Представим 1024 как степень двойки: $1024 = 2^{10}$.
Знаменатель равен $\sqrt[12]{2^{10}} = 2^{10/12} = 2^{5/6}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{2^{5/6}}{2^{5/6}} = 1$
Ответ: 1