Страница 134 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.5. Докажите, что число T является периодом функции f:

1) $f(x) = \cos \frac{x}{4}$, $T = 8\pi$;

2) $f(x) = \text{tg } 3x$, $T = -\frac{2\pi}{3}$;

3) $f(x) = \text{ctg } \pi x$, $T = 3$;

4) $f(x) = \sin (5x - 2)$, $T = \frac{4\pi}{5}$.

1) Чтобы доказать, что число $T = 8\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos\frac{x}{4}$, необходимо проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $f(x) = \cos\frac{x}{4}$ — все действительные числа, то есть $x \in \mathbb{R}$.
Рассмотрим значение функции в точке $x+T$:
$f(x + 8\pi) = \cos\frac{x + 8\pi}{4} = \cos(\frac{x}{4} + \frac{8\pi}{4}) = \cos(\frac{x}{4} + 2\pi)$.
Функция косинус является периодической с основным периодом $2\pi$, поэтому $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos\alpha$ для любого значения $\alpha$. Применяя это свойство, получаем:
$\cos(\frac{x}{4} + 2\pi) = \cos\frac{x}{4} = f(x)$.
Так как $f(x + 8\pi) = f(x)$, то по определению число $T = 8\pi$ является периодом данной функции.
Ответ: Доказано, что $T = 8\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos\frac{x}{4}$.

2) Чтобы доказать, что число $T = -\frac{2\pi}{3}$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg}3x$, необходимо проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $f(x) = \operatorname{tg}3x$ — все действительные числа, для которых $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, то есть $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$. Если $x$ принадлежит области определения, то $x+T$ также принадлежит ей.
Рассмотрим значение функции в точке $x+T$:
$f(x - \frac{2\pi}{3}) = \operatorname{tg}(3(x - \frac{2\pi}{3})) = \operatorname{tg}(3x - 3 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \operatorname{tg}(3x - 2\pi)$.
Функция тангенс является периодической с основным периодом $\pi$, поэтому $\operatorname{tg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{tg}\alpha$ для любого целого $n$. В данном случае $n=-2$:
$\operatorname{tg}(3x - 2\pi) = \operatorname{tg}(3x) = f(x)$.
Так как $f(x - \frac{2\pi}{3}) = f(x)$, то по определению число $T = -\frac{2\pi}{3}$ является периодом данной функции.
Ответ: Доказано, что $T = -\frac{2\pi}{3}$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg}3x$.

3) Чтобы доказать, что число $T = 3$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{ctg}\pi x$, необходимо проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $f(x) = \operatorname{ctg}\pi x$ — все действительные числа, для которых $\pi x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$, то есть $x \neq k, k \in \mathbb{Z}$. Если $x$ не является целым числом, то и $x+3$ не является целым, поэтому $x+T$ также принадлежит области определения.
Рассмотрим значение функции в точке $x+T$:
$f(x + 3) = \operatorname{ctg}(\pi(x + 3)) = \operatorname{ctg}(\pi x + 3\pi)$.
Функция котангенс является периодической с основным периодом $\pi$, поэтому $\operatorname{ctg}(\alpha + \pi n) = \operatorname{ctg}\alpha$ для любого целого $n$. В данном случае $n=3$:
$\operatorname{ctg}(\pi x + 3\pi) = \operatorname{ctg}(\pi x) = f(x)$.
Так как $f(x + 3) = f(x)$, то по определению число $T = 3$ является периодом данной функции.
Ответ: Доказано, что $T = 3$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{ctg}\pi x$.

4) Чтобы доказать, что число $T = \frac{4\pi}{5}$ является периодом функции $f(x) = \sin(5x-2)$, необходимо проверить, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Область определения функции $f(x) = \sin(5x-2)$ — все действительные числа, то есть $x \in \mathbb{R}$.
Рассмотрим значение функции в точке $x+T$:
$f(x + \frac{4\pi}{5}) = \sin(5(x + \frac{4\pi}{5}) - 2) = \sin(5x + 5 \cdot \frac{4\pi}{5} - 2) = \sin(5x + 4\pi - 2)$.
Сгруппируем слагаемые в аргументе синуса: $\sin((5x - 2) + 4\pi)$.
Функция синус является периодической с основным периодом $2\pi$, поэтому $\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin\alpha$ для любого целого $k$. В данном случае $k=2$:
$\sin((5x - 2) + 4\pi) = \sin(5x - 2) = f(x)$.
Так как $f(x + \frac{4\pi}{5}) = f(x)$, то по определению число $T = \frac{4\pi}{5}$ является периодом данной функции.
Ответ: Доказано, что $T = \frac{4\pi}{5}$ является периодом функции $f(x) = \sin(5x-2)$.

17.6. Докажите, что числа $\frac{2\pi}{3}$ и $-4\pi$ являются периодами функции $f(x) = \cos 3x$.

По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции $D(f)$ выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Область определения функции $f(x) = \cos(3x)$ — множество всех действительных чисел ($D(f) = \mathbb{R}$), поэтому для любого $x$ и любого $T$ значение $x+T$ также принадлежит области определения.

Проверим, является ли число $T_1 = \frac{2\pi}{3}$ периодом функции $f(x) = \cos(3x)$. Для этого необходимо показать, что $f(x + \frac{2\pi}{3}) = f(x)$ для любого действительного $x$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$f(x + \frac{2\pi}{3}) = \cos\left(3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)\right)$
Раскроем скобки в аргументе косинуса:
$\cos\left(3x + 3 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x + 2\pi)$
Функция $\cos(\alpha)$ является периодической с основным периодом $2\pi$, что означает $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)$ для любого $\alpha$. Применим это свойство, взяв $\alpha = 3x$:
$\cos(3x + 2\pi) = \cos(3x)$
Так как правая часть полученного выражения равна $f(x)$, мы доказали, что $f(x + \frac{2\pi}{3}) = f(x)$.
Ответ: Число $\frac{2\pi}{3}$ является периодом функции $f(x) = \cos(3x)$, что и требовалось доказать.

Проверим, является ли число $T_2 = -4\pi$ периодом функции $f(x) = \cos(3x)$. Для этого необходимо показать, что $f(x - 4\pi) = f(x)$ для любого действительного $x$.
Рассмотрим левую часть равенства:
$f(x - 4\pi) = \cos(3(x - 4\pi))$
Раскроем скобки в аргументе косинуса:
$\cos(3x - 12\pi)$
Периодом функции косинус является любое число вида $2\pi k$, где $k$ — любое целое число. То есть, $\cos(\alpha + 2\pi k) = \cos(\alpha)$. В нашем случае $-12\pi = 2\pi \cdot (-6)$, где $k=-6$.
Применив это свойство для $\alpha = 3x$ и $k = -6$, получаем:
$\cos(3x - 12\pi) = \cos(3x + 2\pi \cdot (-6)) = \cos(3x)$
Так как правая часть полученного выражения равна $f(x)$, мы доказали, что $f(x - 4\pi) = f(x)$.
Ответ: Число $-4\pi$ является периодом функции $f(x) = \cos(3x)$, что и требовалось доказать.

17.7. Докажите, что число $\pi$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$.

17.7. Чтобы доказать, что число $\pi$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$, необходимо показать, что равенство $f(x + T) = f(x)$ при $T=\pi$ выполняется не для всех значений аргумента $x$ из области определения функции.

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$.

В нашем случае $f(x) = \sin x$, и мы проверяем, является ли $T = \pi$ периодом. Для этого должно выполняться тождество $\sin(x + \pi) = \sin x$ для всех действительных чисел $x$.

Воспользуемся формулой приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Применив её, мы получим: $\sin(x + \pi) = -\sin x$.

Таким образом, равенство $\sin(x + \pi) = \sin x$ может быть истинным только при условии, что $-\sin x = \sin x$. Это равенство эквивалентно уравнению $2\sin x = 0$, или $\sin x = 0$. Решениями этого уравнения являются значения $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это означает, что равенство выполняется не для всех $x$, а лишь для избранных точек.

Чтобы строго доказать, что $\pi$ не является периодом, достаточно привести один контрпример — то есть найти такое значение $x$, для которого равенство $f(x+\pi)=f(x)$ не выполняется. Выберем для этого любое значение $x$, где $\sin x \neq 0$.

Например, возьмем $x = \frac{\pi}{2}$.

Найдем значение функции в этой точке: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Теперь найдем значение функции в точке $x + \pi$: $f\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $1 \neq -1$, следовательно, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) \neq f\left(\frac{\pi}{2} + \pi\right)$.

Поскольку мы нашли значение $x$, для которого условие периодичности не выполняется, мы доказали, что число $\pi$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$.

Ответ: Так как, например, для $x = \frac{\pi}{2}$ равенство $\sin(x+\pi) = \sin x$ не выполняется ($\sin(\frac{\pi}{2}+\pi) = -1$, а $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$), то число $\pi$ не является периодом функции $f(x)=\sin x$. Что и требовалось доказать.

17.8. Докажите, что число $-\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \text{tg} x$.

Для того чтобы доказать, что число $-\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg}x$, необходимо показать, что для этого числа не выполняется определение периода функции.

Напомним, что число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции ($D(f)$) выполняются одновременно два условия: во-первых, число $x+T$ также должно принадлежать области определения $D(f)$, и, во-вторых, должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$. Если нарушено хотя бы одно из этих условий, то $T$ не является периодом.

Проверим первое условие для $T = -\frac{\pi}{2}$. Область определения функции $f(x) = \operatorname{tg}x$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Выберем точку $x=0$, которая очевидно принадлежит области определения функции. Если бы $T = -\frac{\pi}{2}$ был периодом, то точка $x+T = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$ также должна была бы принадлежать области определения. Однако в точке $x = -\frac{\pi}{2}$ функция $\operatorname{tg}x$ не определена, поскольку ее знаменатель $\cos(-\frac{\pi}{2})$ равен нулю. Таким образом, мы нашли точку $x=0 \in D(f)$, для которой $x+T \notin D(f)$. Это противоречит определению периода.

Этого уже достаточно для доказательства, но для полноты можно показать, что и второе условие также не выполняется. Предположим, что равенство $f(x+T) = f(x)$ все же выполняется для тех $x$, для которых обе части определены. Это дает нам $\operatorname{tg}(x - \frac{\pi}{2}) = \operatorname{tg}x$. Используя формулы приведения, преобразуем левую часть: $\operatorname{tg}(x - \frac{\pi}{2}) = -\operatorname{ctg}x$. Тогда равенство принимает вид $-\operatorname{ctg}x = \operatorname{tg}x$, или $-\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\cos x}$. Это приводит к уравнению $-\cos^2 x = \sin^2 x$, то есть $\sin^2 x + \cos^2 x = 0$. Данное равенство ложно, так как из основного тригонометрического тождества известно, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Противоречие доказывает, что и второе условие в общем случае не выполняется.

Поскольку условия определения периода для числа $-\frac{\pi}{2}$ не выполняются, данное число не является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg}x$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

17.9. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = x^2 + 2;$

2) $f(x) = x^2 + 2x;$

3) $f(x) = 2\sqrt{x+3};$

4) $f(x) = 4 - 3\sqrt{x}.$

1) $f(x) = x^2 + 2$

Областью значений функции $y=x^2$ является промежуток $[0; +\infty)$, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом. Это означает, что $x^2 \ge 0$.

Функция $f(x) = x^2 + 2$ представляет собой функцию $y=x^2$, смещенную на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Следовательно, для нахождения ее области значений нужно к границам промежутка $[0; +\infty)$ прибавить 2.

Можно также исходить из неравенства:
$x^2 \ge 0$
$x^2 + 2 \ge 0 + 2$
$f(x) \ge 2$

Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 2.

Ответ: $[2; +\infty)$.

2) $f(x) = x^2 + 2x$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=1, b=2$.

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Теперь найдем ординату вершины (наименьшее значение функции), подставив $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$

Так как наименьшее значение функции равно -1, а ветви параболы уходят в бесконечность, область значений функции — это все числа, большие или равные -1.

Другой способ — выделить полный квадрат:
$f(x) = x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$.
Так как $(x+1)^2 \ge 0$, то $(x+1)^2 - 1 \ge -1$. Значит, $f(x) \ge -1$.

Ответ: $[-1; +\infty)$.

3) $f(x) = 2\sqrt{x+3}$

Арифметический квадратный корень $\sqrt{a}$ определен для $a \ge 0$ и его значения также неотрицательны, то есть $\sqrt{a} \ge 0$.

В нашем случае подкоренное выражение $x+3 \ge 0$, что определяет область определения функции: $x \ge -3$.

Для нахождения области значений рассмотрим выражение $\sqrt{x+3}$. Его наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении $x$, то есть при $x=-3$.

При $x=-3$, $\sqrt{-3+3} = \sqrt{0} = 0$.

Таким образом, $\sqrt{x+3} \ge 0$.

Умножим это неравенство на 2:

$2\sqrt{x+3} \ge 0 \cdot 2$
$f(x) \ge 0$

Следовательно, область значений функции — это все неотрицательные числа.

Ответ: $[0; +\infty)$.

4) $f(x) = 4 - 3\sqrt{x}$

Функция определена для $x \ge 0$. Значение арифметического квадратного корня $\sqrt{x}$ также неотрицательно: $\sqrt{x} \ge 0$.

Рассмотрим, как преобразуется это неравенство:

1. Умножим на -3. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-3\sqrt{x} \le -3 \cdot 0$
$-3\sqrt{x} \le 0$

2. Прибавим 4 к обеим частям неравенства:

$4 - 3\sqrt{x} \le 4 + 0$
$f(x) \le 4$

Таким образом, функция принимает значения, не превышающие 4. Наибольшее значение, равное 4, достигается при $\sqrt{x}=0$, то есть при $x=0$. Поскольку $x$ может принимать сколь угодно большие значения, $\sqrt{x}$ также неограниченно возрастает, а $-3\sqrt{x}$ неограниченно убывает. Следовательно, у функции нет наименьшего значения.

Область значений функции — это все числа, меньшие или равные 4.

Ответ: $(-\infty; 4]$.

17.10. Вычислите значение выражения:

1) $ \sqrt{7} \cdot \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[6]{7}; $

2) $ \sqrt[3]{3\sqrt{3}} \cdot \sqrt[5]{27}; $

3) $ \frac{\sqrt[3]{4\sqrt{2}}}{\sqrt[4]{8\sqrt[3]{2}}}. $

1) Для того чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{7} \cdot \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[6]{7}$, воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ и представим каждый множитель в виде степени с рациональным показателем:
$\sqrt{7} = 7^{1/2}$
$\sqrt[3]{7} = 7^{1/3}$
$\sqrt[6]{7} = 7^{1/6}$
Теперь исходное выражение можно записать так:
$7^{1/2} \cdot 7^{1/3} \cdot 7^{1/6}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$7^{1/2 + 1/3 + 1/6}$
Найдем сумму показателей, приведя дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
Таким образом, получаем:
$7^1 = 7$
Ответ: 7

2) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{3\sqrt[5]{3}} \cdot \sqrt[5]{27}$. Упростим его по частям, используя свойства степеней и корней.
Сначала упростим первый множитель $\sqrt[3]{3\sqrt[5]{3}}$. Для этого внесем множитель 3 под внутренний корень:
$3\sqrt[5]{3} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 3} = \sqrt[5]{3^{5+1}} = \sqrt[5]{3^6}$
Теперь подставим это обратно в первый множитель:
$\sqrt[3]{\sqrt[5]{3^6}}$
По свойству $(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[n \cdot k]{a})$ получаем:
$\sqrt[3 \cdot 5]{3^6} = \sqrt[15]{3^6} = 3^{6/15} = 3^{2/5}$
Теперь упростим второй множитель $\sqrt[5]{27}$:
Так как $27 = 3^3$, то $\sqrt[5]{27} = \sqrt[5]{3^3} = 3^{3/5}$.
Перемножим полученные результаты:
$3^{2/5} \cdot 3^{3/5} = 3^{2/5 + 3/5} = 3^{5/5} = 3^1 = 3$
Ответ: 3

3) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{\sqrt[3]{4\sqrt{2}}}{\sqrt[4]{8\sqrt[3]{2}}}$, преобразуем числитель и знаменатель дроби.
Упростим числитель $\sqrt[3]{4\sqrt{2}}$:
Внесем 4 под знак внутреннего корня: $4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$.
$\sqrt[3]{\sqrt{32}} = \sqrt[3 \cdot 2]{32} = \sqrt[6]{32}$.
Представим 32 как степень двойки: $32 = 2^5$.
Числитель равен $\sqrt[6]{2^5} = 2^{5/6}$.
Упростим знаменатель $\sqrt[4]{8\sqrt[3]{2}}$:
Внесем 8 под знак внутреннего корня: $8\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{512 \cdot 2} = \sqrt[3]{1024}$.
$\sqrt[4]{\sqrt[3]{1024}} = \sqrt[4 \cdot 3]{1024} = \sqrt[12]{1024}$.
Представим 1024 как степень двойки: $1024 = 2^{10}$.
Знаменатель равен $\sqrt[12]{2^{10}} = 2^{10/12} = 2^{5/6}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{2^{5/6}}{2^{5/6}} = 1$
Ответ: 1