Страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

17.2. Найдите значение выражения:

1) $\sin 420^\circ$;

2) $\cos 405^\circ$;

3) $\operatorname{tg} (-315^\circ)$;

4) $\sin 1110^\circ$;

5) $\operatorname{tg} 765^\circ$;

6) $\cos \frac{7\pi}{3}$;

7) $\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{4}$;

8) $\sin \left( -\frac{9\pi}{4} \right)$;

9) $\operatorname{ctg} \left( -\frac{10\pi}{3} \right)$.

1) sin 420°

Для нахождения значения тригонометрической функции от угла, большего $360°$, используем свойство периодичности синуса. Период синуса равен $360°$, или $2\pi$ радиан. Это означает, что $sin(x + 360° \cdot k) = sin(x)$ для любого целого $k$.
Представим $420°$ в виде суммы $360°$ и некоторого угла:
$420° = 360° + 60°$
Следовательно,
$sin(420°) = sin(360° + 60°) = sin(60°)$
Значение $sin(60°)$ является табличным:
$sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) cos 405°

Используем свойство периодичности косинуса. Период косинуса, как и синуса, равен $360°$. Это означает, что $cos(x + 360° \cdot k) = cos(x)$ для любого целого $k$.
Представим $405°$ в виде суммы $360°$ и некоторого угла:
$405° = 360° + 45°$
Следовательно,
$cos(405°) = cos(360° + 45°) = cos(45°)$
Значение $cos(45°)$ является табличным:
$cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3) tg (–315°)

Используем свойство нечетности тангенса: $tg(-x) = -tg(x)$.
$tg(-315°) = -tg(315°)$
Далее используем периодичность тангенса. Период тангенса равен $180°$. $tg(x + 180° \cdot k) = tg(x)$.
Представим $315°$ как $180° + 135°$ или как $360° - 45°$. Воспользуемся вторым вариантом и формулой приведения $tg(360° - \alpha) = -tg(\alpha)$.
$-tg(315°) = -tg(360° - 45°) = -(-tg(45°)) = tg(45°)$
Альтернативный способ: можно использовать периодичность, чтобы привести угол к положительному значению в первом обороте. Период тангенса $180°$, но также можно использовать и $360°$, так как $360° = 2 \cdot 180°$.
$tg(-315°) = tg(-315° + 360°) = tg(45°)$
Значение $tg(45°)$ является табличным:
$tg(45°) = 1$
Ответ: $1$

4) sin 1110°

Используем периодичность синуса ($360°$). Найдем, сколько полных оборотов содержится в $1110°$.
$1110 : 360 = 3$ (остаток $30$), так как $3 \cdot 360° = 1080°$.
$1110° = 3 \cdot 360° + 30°$
Следовательно,
$sin(1110°) = sin(3 \cdot 360° + 30°) = sin(30°)$
Значение $sin(30°)$ является табличным:
$sin(30°) = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

5) tg 765°

Используем периодичность тангенса ($180°$). Найдем, сколько периодов содержится в $765°$.
$765 : 180 = 4$ (остаток $45$), так как $4 \cdot 180° = 720°$.
$765° = 4 \cdot 180° + 45°$
Следовательно,
$tg(765°) = tg(4 \cdot 180° + 45°) = tg(45°)$
Значение $tg(45°)$ является табличным:
$tg(45°) = 1$
Ответ: $1$

6) cos (7π/3)

Используем периодичность косинуса ($2\pi$). Представим дробь $\frac{7\pi}{3}$ в виде суммы целого числа периодов и угла в пределах от $0$ до $2\pi$.
$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$
Следовательно,
$cos(\frac{7\pi}{3}) = cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3})$
Значение $cos(\frac{\pi}{3})$ является табличным:
$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

7) ctg (5π/4)

Используем периодичность котангенса ($\pi$). Представим дробь $\frac{5\pi}{4}$ в виде суммы целого числа периодов и некоторого угла.
$\frac{5\pi}{4} = \frac{4\pi + \pi}{4} = \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$
Следовательно,
$ctg(\frac{5\pi}{4}) = ctg(\pi + \frac{\pi}{4}) = ctg(\frac{\pi}{4})$
Значение $ctg(\frac{\pi}{4})$ является табличным:
$ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$
Ответ: $1$

8) sin (–9π/4)

Используем свойство нечетности синуса: $sin(-x) = -sin(x)$.
$sin(-\frac{9\pi}{4}) = -sin(\frac{9\pi}{4})$
Теперь используем периодичность синуса ($2\pi$).
$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$
Следовательно,
$-sin(\frac{9\pi}{4}) = -sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = -sin(\frac{\pi}{4})$
Значение $sin(\frac{\pi}{4})$ является табличным:
$-sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

9) ctg (–10π/3)

Используем свойство нечетности котангенса: $ctg(-x) = -ctg(x)$.
$ctg(-\frac{10\pi}{3}) = -ctg(\frac{10\pi}{3})$
Теперь используем периодичность котангенса ($\pi$).
$\frac{10\pi}{3} = \frac{9\pi + \pi}{3} = \frac{9\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3}$
Следовательно,
$-ctg(\frac{10\pi}{3}) = -ctg(3\pi + \frac{\pi}{3}) = -ctg(\frac{\pi}{3})$
Значение $ctg(\frac{\pi}{3})$ является табличным:
$-ctg(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

17.3. На рисунке 17.4 изображена часть графика периодической функции, период которой равен $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-2T; 3T]$.

Рис. 17.4

а

б

в

Для построения графика периодической функции на заданном промежутке необходимо использовать ее основное свойство: $f(x+T) = f(x)$, где $T$ — период функции. Это означает, что график функции повторяется на каждом интервале длиной $T$. Мы будем "копировать" данный нам участок графика, сдвигая его вдоль оси $x$ на $T, 2T, 3T, \dots$ вправо и на $-T, -2T, -3T, \dots$ влево.

а

На рисунке 'а' показан график функции на промежутке $[0, T]$. Длина этого промежутка равна $T$. Чтобы построить график на промежутке $[-2T, 3T]$, мы должны скопировать данный участок и сдвинуть его влево и вправо на целое число периодов.

1. Сдвигаем исходный участок на $T$ вправо, чтобы получить график на промежутке $[T, 2T]$.
2. Сдвигаем исходный участок на $2T$ вправо, чтобы получить график на промежутке $[2T, 3T]$.
3. Сдвигаем исходный участок на $T$ влево (или на $-T$), чтобы получить график на промежутке $[-T, 0]$.
4. Сдвигаем исходный участок на $2T$ влево (или на $-2T$), чтобы получить график на промежутке $[-2T, -T]$.

В результате на промежутке $[-2T, 3T]$ мы получим непрерывный график, состоящий из пяти одинаковых U-образных сегментов. Минимальные значения функции (нули) будут достигаться в точках $x = -\frac{3T}{2}, x = -\frac{T}{2}, x = \frac{T}{2}, x = \frac{3T}{2}, x = \frac{5T}{2}$.

Ответ: График на промежутке $[-2T, 3T]$ представляет собой пять последовательно соединенных U-образных кривых, аналогичных той, что изображена на исходном рисунке.

б

На рисунке 'б' показан график функции на полуинтервале $[-\frac{T}{3}, \frac{2T}{3})$. Длина этого промежутка равна $\frac{2T}{3} - (-\frac{T}{3}) = T$. Это один период функции.

Обратим внимание, что точка при $x = -\frac{T}{3}$ закрашена, а точка при $x = \frac{2T}{3}$ — выколота. Это означает, что в точках $x = \frac{2T}{3} + nT$ (где $n$ — целое число) функция имеет разрыв первого рода ("скачок"). Значение функции в конце периода $f(\frac{2T}{3})$ по свойству периодичности должно быть равно значению в начале периода $f(-\frac{T}{3})$.

Для построения графика на промежутке $[-2T, 3T]$ мы копируем данный участок, сдвигая его на $nT$ влево и вправо:

- Участок на $[ \frac{2T}{3}, \frac{5T}{3} )$ получается сдвигом исходного на $T$ вправо.
- Участок на $[ \frac{5T}{3}, \frac{8T}{3} )$ получается сдвигом исходного на $2T$ вправо.
- Часть участка от $x = \frac{8T}{3}$ до $x=3T$ получается сдвигом исходного на $3T$ вправо.
- Участок на $[ -\frac{4T}{3}, -\frac{T}{3} )$ получается сдвигом исходного на $T$ влево.
- Часть участка от $x = -2T$ до $x=-\frac{4T}{3}$ получается сдвигом исходного на $2T$ влево.

Ответ: График на промежутке $[-2T, 3T]$ будет состоять из повторяющихся убывающих кривых. В точках $x = -\frac{4T}{3}, -\frac{T}{3}, \frac{2T}{3}, \frac{5T}{3}, \frac{8T}{3}$ будут разрывы (скачки), где график "прыгает" с нижнего значения на верхнее.

в

На рисунке 'в' показан график функции на интервале $(-T, 0)$. Длина этого интервала равна $T$. График имеет вертикальные асимптоты в точках $x = -T$ и $x = 0$.

Чтобы построить график на промежутке $[-2T, 3T]$, мы должны продублировать этот участок, сдвигая его на целое число периодов $T$.

1. Сдвиг вправо на $T$ дает нам график на интервале $(0, T)$.
2. Сдвиг вправо на $2T$ дает нам график на интервале $(T, 2T)$.
3. Сдвиг вправо на $3T$ дает нам график на интервале $(2T, 3T)$.
4. Сдвиг влево на $T$ дает нам график на интервале $(-2T, -T)$.

В результате мы получим график, состоящий из нескольких одинаковых ветвей. Функция будет не определена в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T, 3T$, и в этих точках будут находиться вертикальные асимптоты.

Ответ: График на промежутке $[-2T, 3T]$ состоит из пяти одинаковых возрастающих S-образных кривых, расположенных в интервалах $(-2T, -T)$, $(-T, 0)$, $(0, T)$, $(T, 2T)$ и $(2T, 3T)$. Эти кривые разделены вертикальными асимптотами в точках $x=nT$ для целых $n$ от -2 до 3.

17.4. На рисунке 17.5 изображена часть графика периодической функции, период которой равен $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-2T; 2T]$.

Рис. 17.5

а

б

По условию, функция является периодической с периодом $T$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Нам дан график функции на промежутке $[0, T)$ и требуется построить его на промежутке $[-2T; 2T]$.

Для построения графика на всём заданном промежутке мы воспользуемся свойством периодичности. Мы скопируем данный нам фрагмент графика и сдвинем его вдоль оси абсцисс на целое число периодов ($T$, $2T$, $-T$, $-2T$ и т.д.).

1. Исходный фрагмент. График дан на промежутке $[0, T)$. Из него видно, что $f(0) = 0$. В силу периодичности, значение функции в точке $x=T$ должно быть таким же, как и в точке $x=0$, то есть $f(T) = f(0+T) = f(0) = 0$. Это соответствует виду графика, где нижняя ветвь стремится к точке $(T, 0)$.
2. Построение на $[T, 2T]$. Чтобы получить график на этом промежутке, мы сдвигаем исходный фрагмент на $T$ вправо. Каждая точка $(x_0, y_0)$ с графика на $[0, T)$ переходит в точку $(x_0+T, y_0)$.
3. Построение на $[-2T, 0]$. Чтобы получить график на промежутке $[-T, 0)$, мы сдвигаем исходный фрагмент на $T$ влево. Для получения графика на $[-2T, -T)$ мы сдвигаем исходный фрагмент на $2T$ влево.

В результате на промежутке $[-2T; 2T]$ мы получим четыре полных повторения исходного фрагмента. Значения функции в точках, кратных периоду, будут равны нулю: $f(-2T) = f(-T) = f(0) = f(T) = f(2T) = 0$.

Ответ:

В этом случае график периодической функции с периодом $T$ задан на промежутке $[-\frac{T}{2}; \frac{T}{2}]$. Длина этого промежутка равна $\frac{T}{2} - (-\frac{T}{2}) = T$, то есть нам дан ровно один период функции. На краях этого промежутка ($x \to \frac{T}{2}$ слева и $x \to -\frac{T}{2}$ справа) график уходит в $-\infty$. Это означает, что прямые $x = \frac{T}{2} + nT$ (где $n$ — целое число) являются вертикальными асимптотами графика.

Для построения графика на промежутке $[-2T; 2T]$ мы, как и в предыдущем задании, повторяем исходный фрагмент, сдвигая его на $T$ влево и вправо.

1. Исходный фрагмент. На промежутке $(-\frac{T}{2}, \frac{T}{2})$ график представляет собой "колокол" с максимумом в точке $x=0$.
2. Построение на соседних интервалах. Сдвигая исходный фрагмент на $T$ вправо, получаем график на интервале $(\frac{T}{2}, \frac{3T}{2})$ с центром в $x=T$. Сдвигая на $T$ влево, получаем график на интервале $(-\frac{3T}{2}, -\frac{T}{2})$ с центром в $x=-T$.
3. Границы промежутка $[-2T; 2T]$. Промежуток $[-2T; 2T]$ включает в себя три полных периода (с центрами в $-T, 0, T$) и две "половинки" периодов на краях: правую часть периода с центром в $-2T$ (на промежутке $[-2T, -\frac{3T}{2})$) и левую часть периода с центром в $2T$ (на промежутке $(\frac{3T}{2}, 2T]$).

Таким образом, вертикальные асимптоты на данном промежутке будут в точках $x = \pm \frac{T}{2}$ и $x = \pm \frac{3T}{2}$.

Ответ: