Страница 126 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Когда говорят, что $\alpha$ является углом I четверти? II четверти? III четверти? IV четверти?

В тригонометрии положение угла определяется в декартовой системе координат, центр которой является вершиной угла. Оси координат (Ox и Oy) делят плоскость на четыре области, называемые четвертями или квадрантами. Отсчет углов принято вести от положительного направления оси абсцисс (Ox) против часовой стрелки. Полный оборот составляет $360°$ или $2\pi$ радиан. Поскольку угол может быть больше $360°$ (несколько оборотов) или отрицательным (отсчет по часовой стрелке), для общего случая к граничным значениям углов добавляют $360° \cdot k$ (в градусах) или $2\pi k$ (в радианах), где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).

I четверти
Говорят, что угол $α$ является углом I четверти, если его конечная сторона лежит в области, где обе координаты (x и y) положительны. Это соответствует углам, лежащим в интервале от $0°$ до $90°$. С учетом всех возможных оборотов, условие принадлежности угла $α$ к I четверти записывается в виде двойного неравенства.
В градусах: $0° + 360° \cdot k < α < 90° + 360° \cdot k$, где $k \in Z$.
В радианах: $2\pi k < α < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: Угол $α$ является углом I четверти, если он удовлетворяет неравенству $2\pi k < α < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

II четверти
Говорят, что угол $α$ является углом II четверти, если его конечная сторона лежит в области, где координата x отрицательна, а координата y положительна. Это соответствует углам в интервале от $90°$ до $180°$.
В градусах: $90° + 360° \cdot k < α < 180° + 360° \cdot k$, где $k \in Z$.
В радианах: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < α < \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: Угол $α$ является углом II четверти, если он удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < α < \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

III четверти
Говорят, что угол $α$ является углом III четверти, если его конечная сторона лежит в области, где обе координаты (x и y) отрицательны. Это соответствует углам в интервале от $180°$ до $270°$.
В градусах: $180° + 360° \cdot k < α < 270° + 360° \cdot k$, где $k \in Z$.
В радианах: $\pi + 2\pi k < α < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: Угол $α$ является углом III четверти, если он удовлетворяет неравенству $\pi + 2\pi k < α < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

IV четверти
Говорят, что угол $α$ является углом IV четверти, если его конечная сторона лежит в области, где координата x положительна, а координата y отрицательна. Это соответствует углам в интервале от $270°$ до $360°$.
В градусах: $270° + 360° \cdot k < α < 360° + 360° \cdot k$, где $k \in Z$.
В радианах: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k < α < 2\pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: Угол $α$ является углом IV четверти, если он удовлетворяет неравенству $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k < α < 2\pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.

2. Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из четвертей?

Знаки тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, котангенс) зависят от координатной четверти, в которой находится угол. Для определения знаков удобно использовать единичную окружность, где точка на окружности, соответствующая углу $ \alpha $, имеет координаты $ (\cos(\alpha), \sin(\alpha)) $.

Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки:

• I четверть: угол от 0° до 90° ($0 < \alpha < \pi/2$). Координаты $x$ и $y$ положительны.
• II четверть: угол от 90° до 180° ($\pi/2 < \alpha < \pi$). Координата $x$ отрицательна, $y$ положительна.
• III четверть: угол от 180° до 270° ($\pi < \alpha < 3\pi/2$). Координаты $x$ и $y$ отрицательны.
• IV четверть: угол от 270° до 360° ($3\pi/2 < \alpha < 2\pi$). Координата $x$ положительна, $y$ отрицательна.

синус
Знак синуса угла $ \alpha $ определяется знаком ординаты $y$ точки на единичной окружности.
- В I четверти $y > 0$, следовательно, $ \sin(\alpha) > 0 $ (знак "+").
- Во II четверти $y > 0$, следовательно, $ \sin(\alpha) > 0 $ (знак "+").
- В III четверти $y < 0$, следовательно, $ \sin(\alpha) < 0 $ (знак "−").
- В IV четверти $y < 0$, следовательно, $ \sin(\alpha) < 0 $ (знак "−").
Ответ: синус положителен в I и II четвертях, отрицателен в III и IV четвертях.

косинус
Знак косинуса угла $ \alpha $ определяется знаком абсциссы $x$ точки на единичной окружности.
- В I четверти $x > 0$, следовательно, $ \cos(\alpha) > 0 $ (знак "+").
- Во II четверти $x < 0$, следовательно, $ \cos(\alpha) < 0 $ (знак "−").
- В III четверти $x < 0$, следовательно, $ \cos(\alpha) < 0 $ (знак "−").
- В IV четверти $x > 0$, следовательно, $ \cos(\alpha) > 0 $ (знак "+").
Ответ: косинус положителен в I и IV четвертях, отрицателен во II и III четвертях.

тангенс
Знак тангенса определяется по формуле $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $. Знак будет положительным, если знаки синуса и косинуса совпадают, и отрицательным, если они различны.
- В I четверти: $ \frac{(+)}{(+)} = + $. Тангенс положителен.
- Во II четверти: $ \frac{(+)}{(-)} = - $. Тангенс отрицателен.
- В III четверти: $ \frac{(-)}{(-)} = + $. Тангенс положителен.
- В IV четверти: $ \frac{(-)}{(+)} = - $. Тангенс отрицателен.
Ответ: тангенс положителен в I и III четвертях, отрицателен во II и IV четвертях.

котангенс
Знак котангенса определяется по формуле $ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $. Как и у тангенса, его знак зависит от соотношения знаков синуса и косинуса и полностью совпадает со знаком тангенса.
- В I четверти: $ \frac{(+)}{(+)} = + $. Котангенс положителен.
- Во II четверти: $ \frac{(-)}{(+)} = - $. Котангенс отрицателен.
- В III четверти: $ \frac{(-)}{(-)} = + $. Котангенс положителен.
- В IV четверти: $ \frac{(+)}{(-)} = - $. Котангенс отрицателен.
Ответ: котангенс положителен в I и III четвертях, отрицателен во II и IV четвертях.