Страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.19. Найдите область значений функции:

1) $y = \frac{2}{3 - \cos x}$;

2) $y = \frac{1}{\sin x + 1}$.

1) $y = \frac{2}{3 - \cos x}$

Для нахождения области значений функции, необходимо оценить, какие значения может принимать выражение. Начнем с анализа знаменателя, который зависит от функции косинуса.

Область значений функции косинуса: $-1 \le \cos x \le 1$.

Далее оценим выражение $3 - \cos x$. Для этого сначала умножим неравенство на $-1$, что изменит знаки неравенства:

$1 \ge -\cos x \ge -1$, или, что то же самое, $-1 \le -\cos x \le 1$.

Теперь прибавим 3 ко всем частям этого двойного неравенства:

$3 - 1 \le 3 - \cos x \le 3 + 1$

$2 \le 3 - \cos x \le 4$

Итак, знаменатель функции $3 - \cos x$ принимает значения от 2 до 4 включительно. Так как знаменатель всегда положителен и не равен нулю, функция $y$ определена для всех $x$.

Теперь найдем область значений всей дроби $y = \frac{2}{3 - \cos x}$. Поскольку числитель — положительная константа, а знаменатель — положительное выражение, значение функции $y$ будет обратно пропорционально значению знаменателя. Это значит, что максимальное значение $y$ будет достигнуто при минимальном значении знаменателя, и наоборот.

Минимальное значение функции $y$ (при максимальном знаменателе):

$y_{min} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Максимальное значение функции $y$ (при минимальном знаменателе):

$y_{max} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, область значений функции — это все числа от $\frac{1}{2}$ до 1 включительно.

Ответ: $[\frac{1}{2}, 1]$.

2) $y = \frac{1}{\sin x + 1}$

Найдем область значений этой функции, используя тот же метод оценки.

Область значений функции синуса: $-1 \le \sin x \le 1$.

Оценим значение знаменателя $\sin x + 1$. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-1 + 1 \le \sin x + 1 \le 1 + 1$

$0 \le \sin x + 1 \le 2$

Знаменатель $\sin x + 1$ принимает значения в отрезке $[0, 2]$. Однако, функция $y$ не определена, когда знаменатель равен нулю. Это происходит при $\sin x + 1 = 0$, то есть при $\sin x = -1$.

Следовательно, для области определения функции знаменатель $\sin x + 1$ может принимать любые значения из полуинтервала $(0, 2]$.

Рассмотрим, какие значения принимает функция $y$ при таких значениях знаменателя.

Когда знаменатель принимает свое максимальное значение, равное 2 (при $\sin x = 1$), функция $y$ принимает свое минимальное значение:

$y_{min} = \frac{1}{2}$

Когда знаменатель $\sin x + 1$ стремится к нулю (это происходит, когда $\sin x$ стремится к $-1$, но не достигает его), значение дроби $y$ неограниченно возрастает:

$\lim_{\sin x \to -1^+} \frac{1}{\sin x + 1} = +\infty$

Так как функция является непрерывной на своей области определения, она принимает все значения, начиная от своего минимального значения $\frac{1}{2}$ и до плюс бесконечности.

Ответ: $[\frac{1}{2}, +\infty)$.

15.20. Докажите, что $ \sin \alpha = -\cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) $.

Чтобы доказать тождество $ \sin \alpha = -\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) $, мы преобразуем правую часть равенства, используя формулу косинуса суммы углов, также известную как формула приведения.

Формула косинуса суммы имеет вид:

$ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $

Применим эту формулу к выражению $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) $, положив $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2}) \cos \alpha - \sin(\frac{\pi}{2}) \sin \alpha $

Нам известны значения тригонометрических функций для угла $ \frac{\pi}{2} $:

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

Подставим эти числовые значения в наше выражение:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = (0) \cdot \cos \alpha - (1) \cdot \sin \alpha = 0 - \sin \alpha = -\sin \alpha $

Теперь вернемся к правой части исходного тождества $ -\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) $ и подставим в нее полученный результат:

$ -\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -(-\sin \alpha) = \sin \alpha $

Таким образом, мы показали, что правая часть исходного равенства равна левой части:

$ \sin \alpha = \sin \alpha $

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

15.21. Докажите, что $ \cos \alpha = -\cos (\pi + \alpha) $.

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов, также известной как формула приведения. Формула косинуса суммы имеет следующий вид:
$\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

Мы хотим доказать, что $\cos \alpha = -\cos(\pi + \alpha)$. Давайте преобразуем правую часть этого равенства, то есть выражение $-\cos(\pi + \alpha)$, используя указанную формулу. Для выражения $\cos(\pi + \alpha)$ примем $x = \pi$ и $y = \alpha$.

Подставим эти значения в формулу:
$\cos(\pi + \alpha) = \cos \pi \cos \alpha - \sin \pi \sin \alpha$

Известно, что угол $\pi$ радиан равен 180 градусам. Значения косинуса и синуса для этого угла являются табличными:
$\cos \pi = -1$
$\sin \pi = 0$

Теперь подставим эти числовые значения в наше преобразованное выражение:
$\cos(\pi + \alpha) = (-1) \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha$

Упростим полученное выражение:
$\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha - 0$
$\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$

Теперь вернемся к исходному тождеству, которое нужно было доказать: $\cos \alpha = -\cos(\pi + \alpha)$. Мы только что показали, что $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$. Подставим этот результат в правую часть доказываемого тождества:
$-\cos(\pi + \alpha) = -(-\cos \alpha) = \cos \alpha$

Таким образом, мы получили, что левая часть равна правой: $\cos \alpha = \cos \alpha$. Это подтверждает истинность исходного утверждения.

Ответ: что и требовалось доказать.

15.22. Сравните с нулём координаты точки $A (x, y)$, если эта точка лежит:

1) в I координатной четверти;

2) во II координатной четверти;

3) в III координатной четверти;

4) в IV координатной четверти.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить, как определяется знак координат точки в зависимости от того, в какой координатной четверти она расположена. Координатная плоскость делится осями абсцисс (Ox) и ординат (Oy) на четыре четверти (или квадранта).

1) в I координатной четверти;

Первая координатная четверть (I) — это область, где абсцисса (координата $x$) и ордината (координата $y$) положительны. Точка $A(x, y)$ лежит в этой четверти, если она находится правее оси Oy (что соответствует $x > 0$) и выше оси Ox (что соответствует $y > 0$). Следовательно, обе её координаты строго больше нуля.

Ответ: $x > 0, y > 0$.

2) во II координатной четверти;

Вторая координатная четверть (II) — это область, где абсцисса (координата $x$) отрицательна, а ордината (координата $y$) положительна. Точка $A(x, y)$ лежит в этой четверти, если она находится левее оси Oy (что соответствует $x < 0$) и выше оси Ox (что соответствует $y > 0$). Следовательно, её абсцисса меньше нуля, а ордината больше нуля.

Ответ: $x < 0, y > 0$.

3) в III координатной четверти;

Третья координатная четверть (III) — это область, где и абсцисса (координата $x$), и ордината (координата $y$) отрицательны. Точка $A(x, y)$ лежит в этой четверти, если она находится левее оси Oy (что соответствует $x < 0$) и ниже оси Ox (что соответствует $y < 0$). Следовательно, обе её координаты строго меньше нуля.

Ответ: $x < 0, y < 0$.

4) в IV координатной четверти.

Четвертая координатная четверть (IV) — это область, где абсцисса (координата $x$) положительна, а ордината (координата $y$) отрицательна. Точка $A(x, y)$ лежит в этой четверти, если она находится правее оси Oy (что соответствует $x > 0$) и ниже оси Ox (что соответствует $y < 0$). Следовательно, её абсцисса больше нуля, а ордината меньше нуля.

Ответ: $x > 0, y < 0$.

15.23. Чётной или нечётной является функция:

1) $f(x) = \sqrt[5]{x^3}$;

2) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$;

3) $f(x) = 2x^7 + 4x^5 - 3x$;

4) $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$?

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция четная).
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция нечетная).

Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

1) $f(x) = \sqrt[5]{x^3}$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной (пятой) степени определен для любого действительного числа. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt[5]{(-x)^3} = \sqrt[5]{-x^3} = -\sqrt[5]{x^3} = -f(x)$

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

2) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной (третьей) степени определен для любого действительного числа. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt[3]{(-x)^2} = \sqrt[3]{x^2} = f(x)$

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

3) $f(x) = 2x^7 + 4x^5 - 3x$

Данная функция является многочленом, поэтому ее область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которая симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 2(-x)^7 + 4(-x)^5 - 3(-x) = 2(-x^7) + 4(-x^5) + 3x = -2x^7 - 4x^5 + 3x$

Вынесем знак «минус» за скобки:

$f(-x) = -(2x^7 + 4x^5 - 3x) = -f(x)$

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. (Также можно заметить, что все степени переменной $x$ нечетные: 7, 5, 1, а сумма нечетных функций является нечетной функцией).

Ответ: нечетная.

4) $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как подкоренное выражение $|x| \ge 0$ при любом действительном значении $x$, а корень четной степени определен для неотрицательных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt[4]{|-x|}$

По свойству модуля $|-x| = |x|$, следовательно:

$f(-x) = \sqrt[4]{|x|} = f(x)$

Поскольку выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.