Номер 15.19, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.19. Найдите область значений функции:

1) $y = \frac{2}{3 - \cos x}$;

2) $y = \frac{1}{\sin x + 1}$.

1) $y = \frac{2}{3 - \cos x}$

Для нахождения области значений функции, необходимо оценить, какие значения может принимать выражение. Начнем с анализа знаменателя, который зависит от функции косинуса.

Область значений функции косинуса: $-1 \le \cos x \le 1$.

Далее оценим выражение $3 - \cos x$. Для этого сначала умножим неравенство на $-1$, что изменит знаки неравенства:

$1 \ge -\cos x \ge -1$, или, что то же самое, $-1 \le -\cos x \le 1$.

Теперь прибавим 3 ко всем частям этого двойного неравенства:

$3 - 1 \le 3 - \cos x \le 3 + 1$

$2 \le 3 - \cos x \le 4$

Итак, знаменатель функции $3 - \cos x$ принимает значения от 2 до 4 включительно. Так как знаменатель всегда положителен и не равен нулю, функция $y$ определена для всех $x$.

Теперь найдем область значений всей дроби $y = \frac{2}{3 - \cos x}$. Поскольку числитель — положительная константа, а знаменатель — положительное выражение, значение функции $y$ будет обратно пропорционально значению знаменателя. Это значит, что максимальное значение $y$ будет достигнуто при минимальном значении знаменателя, и наоборот.

Минимальное значение функции $y$ (при максимальном знаменателе):

$y_{min} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Максимальное значение функции $y$ (при минимальном знаменателе):

$y_{max} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, область значений функции — это все числа от $\frac{1}{2}$ до 1 включительно.

Ответ: $[\frac{1}{2}, 1]$.

2) $y = \frac{1}{\sin x + 1}$

Найдем область значений этой функции, используя тот же метод оценки.

Область значений функции синуса: $-1 \le \sin x \le 1$.

Оценим значение знаменателя $\sin x + 1$. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-1 + 1 \le \sin x + 1 \le 1 + 1$

$0 \le \sin x + 1 \le 2$

Знаменатель $\sin x + 1$ принимает значения в отрезке $[0, 2]$. Однако, функция $y$ не определена, когда знаменатель равен нулю. Это происходит при $\sin x + 1 = 0$, то есть при $\sin x = -1$.

Следовательно, для области определения функции знаменатель $\sin x + 1$ может принимать любые значения из полуинтервала $(0, 2]$.

Рассмотрим, какие значения принимает функция $y$ при таких значениях знаменателя.

Когда знаменатель принимает свое максимальное значение, равное 2 (при $\sin x = 1$), функция $y$ принимает свое минимальное значение:

$y_{min} = \frac{1}{2}$

Когда знаменатель $\sin x + 1$ стремится к нулю (это происходит, когда $\sin x$ стремится к $-1$, но не достигает его), значение дроби $y$ неограниченно возрастает:

$\lim_{\sin x \to -1^+} \frac{1}{\sin x + 1} = +\infty$

Так как функция является непрерывной на своей области определения, она принимает все значения, начиная от своего минимального значения $\frac{1}{2}$ и до плюс бесконечности.

Ответ: $[\frac{1}{2}, +\infty)$.