Номер 15.18, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.18. Найдите область значений выражения:

1) $\frac{1}{2 + \sin x}$;

2) $\frac{1}{1 - \cos x}$.

1) Чтобы найти область значений выражения $\frac{1}{2 + \sin x}$, сначала найдем область значений знаменателя $2 + \sin x$.
Известно, что область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$, то есть:
$-1 \le \sin x \le 1$
Прибавим ко всем частям неравенства 2:
$2 - 1 \le 2 + \sin x \le 2 + 1$
$1 \le 2 + \sin x \le 3$
Таким образом, знаменатель принимает значения от 1 до 3 включительно. Так как знаменатель всегда положителен, мы можем найти область значений дроби.
Функция $y = \frac{1}{t}$ является убывающей для $t > 0$. Это означает, что наименьшему значению знаменателя будет соответствовать наибольшее значение дроби, а наибольшему значению знаменателя - наименьшее значение дроби.
Наибольшее значение выражения: $\frac{1}{1} = 1$.
Наименьшее значение выражения: $\frac{1}{3}$.
Следовательно, область значений исходного выражения - это отрезок $[\frac{1}{3}, 1]$.
Ответ: $[\frac{1}{3}; 1]$.

2) Чтобы найти область значений выражения $\frac{1}{1 - \cos x}$, найдем область значений знаменателя $1 - \cos x$.
Область значений функции косинуса - это отрезок $[-1, 1]$:
$-1 \le \cos x \le 1$
Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$-1 \le -\cos x \le 1$
Прибавим ко всем частям неравенства 1:
$1 - 1 \le 1 - \cos x \le 1 + 1$
$0 \le 1 - \cos x \le 2$
Выражение в знаменателе дроби не может быть равно нулю, поэтому $1 - \cos x \ne 0$. Это условие выполняется, когда $\cos x \ne 1$. Таким образом, знаменатель $1 - \cos x$ принимает значения в полуинтервале $(0, 2]$.
Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{t}$, где $t = 1 - \cos x$ и $t \in (0, 2]$.
Поскольку функция $y = \frac{1}{t}$ убывает на промежутке $(0, +\infty)$, ее наименьшее значение на полуинтервале $(0, 2]$ достигается при наибольшем значении $t$, то есть при $t=2$:
$y_{min} = \frac{1}{2}$.
Когда значение знаменателя $t$ стремится к нулю справа ($t \to 0+$), значение дроби $y = \frac{1}{t}$ стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$).
Следовательно, область значений исходного выражения - это луч $[\frac{1}{2}, +\infty)$.
Ответ: $[\frac{1}{2}; +\infty)$.