Номер 15.15, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.15. При каких значениях $a$ возможно равенство:

1) $\sin x = a - 2;$

2) $\cos x = a^2 + 2;$

3) $\cos x = a^2 - 3;$

4) $\sin x = 2a - a^2 - 2?$

Основное свойство функций синуса и косинуса заключается в том, что их область значений — это отрезок $[-1; 1]$. То есть, для любого угла $x$ выполняются неравенства: $-1 \le \sin x \le 1$ и $-1 \le \cos x \le 1$. Чтобы предложенные равенства были возможны, необходимо, чтобы правая часть каждого уравнения принадлежала этому отрезку.

1) $\sin x = a - 2$

Равенство возможно тогда и только тогда, когда выполняется двойное неравенство:

$-1 \le a - 2 \le 1$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства, чтобы найти значения $a$:

$-1 + 2 \le a - 2 + 2 \le 1 + 2$

$1 \le a \le 3$

Таким образом, равенство возможно, если $a$ принадлежит отрезку $[1; 3]$.

Ответ: $a \in [1; 3]$.

2) $\cos x = a^2 + 2$

Равенство возможно, если выполняется условие:

$-1 \le a^2 + 2 \le 1$

Рассмотрим правую часть этого двойного неравенства:

$a^2 + 2 \le 1$

$a^2 \le 1 - 2$

$a^2 \le -1$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть $a^2 \ge 0$). Следовательно, неравенство $a^2 \le -1$ не имеет решений в действительных числах. Это означает, что исходное равенство невозможно ни при каких значениях $a$.

Ответ: решений нет.

3) $\cos x = a^2 - 3$

Равенство возможно, если выполняется условие:

$-1 \le a^2 - 3 \le 1$

Прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства:

$-1 + 3 \le a^2 - 3 + 3 \le 1 + 3$

$2 \le a^2 \le 4$

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} a^2 \ge 2 \\ a^2 \le 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство $a^2 \ge 2$. Его решения: $a \le -\sqrt{2}$ или $a \ge \sqrt{2}$. В виде объединения интервалов: $a \in (-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

Решим второе неравенство $a^2 \le 4$. Его решения: $-2 \le a \le 2$. В виде отрезка: $a \in [-2; 2]$.

Теперь найдем пересечение этих двух множеств решений. Это будут значения $a$, которые одновременно удовлетворяют обоим условиям: $a \in [-2; -\sqrt{2}]$ и $a \in [\sqrt{2}; 2]$.

Ответ: $a \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

4) $\sin x = 2a - a^2 - 2$

Равенство возможно, если выполняется условие:

$-1 \le 2a - a^2 - 2 \le 1$

Преобразуем выражение в правой части, выделив полный квадрат:

$2a - a^2 - 2 = -(a^2 - 2a + 2) = -( (a^2 - 2a + 1) + 1 ) = -( (a-1)^2 + 1 ) = -(a-1)^2 - 1$

Теперь неравенство имеет вид:

$-1 \le -(a-1)^2 - 1 \le 1$

Рассмотрим выражение $-(a-1)^2 - 1$. Так как $(a-1)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $-(a-1)^2 \le 0$. Следовательно, $-(a-1)^2 - 1 \le -1$.

Это означает, что значение выражения $2a - a^2 - 2$ всегда меньше или равно $-1$.

Чтобы двойное неравенство $-1 \le -(a-1)^2 - 1 \le 1$ выполнялось, выражение должно быть одновременно $\ge -1$ и $\le -1$. Это возможно только в одном случае — когда оно равно $-1$.

$-(a-1)^2 - 1 = -1$

$-(a-1)^2 = 0$

$(a-1)^2 = 0$

$a - 1 = 0$

$a = 1$

При $a=1$ правая часть исходного уравнения равна $-1$, и равенство $\sin x = -1$ возможно. Таким образом, существует единственное значение $a$, при котором равенство возможно.

Ответ: $a = 1$.