Номер 15.10, страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.10. Укажите какие-нибудь три значения $x$, при которых выполняется равенство:

1) $\cos x = 1$;

2) $\cos x = -1$.

1) cos x = 1;

Данное равенство является частным случаем простейшего тригонометрического уравнения. Косинус угла равен единице, если этот угол соответствует точке на единичной окружности с абсциссой 1. Это происходит в точках, получаемых из начальной точки (1, 0) поворотом на угол, кратный $ 2\pi $ радиан.

Общее решение уравнения $ \cos x = 1 $ записывается формулой: $ x = 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Для того чтобы найти три каких-нибудь значения $ x $, нужно подставить в общую формулу три различных целых значения для $ k $.

• При $ k = 0 $, получаем: $ x = 2\pi \cdot 0 = 0 $.
• При $ k = 1 $, получаем: $ x = 2\pi \cdot 1 = 2\pi $.
• При $ k = 2 $, получаем: $ x = 2\pi \cdot 2 = 4\pi $.

Также можно взять отрицательное значение для $ k $, например:

• При $ k = -1 $, получаем: $ x = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi $.

Выберем три из найденных значений, например, 0, $ 2\pi $ и $ -2\pi $.

Ответ: $ 0, 2\pi, -2\pi $.

2) cos x = -1;

Данное равенство также является частным случаем простейшего тригонометрического уравнения. Косинус угла равен минус единице, если этот угол соответствует точке на единичной окружности с абсциссой -1. Это происходит в точках, получаемых поворотом на угол $ \pi $ и далее на полные обороты, то есть на $ 2\pi k $.

Общее решение уравнения $ \cos x = -1 $ записывается формулой: $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Для того чтобы найти три каких-нибудь значения $ x $, подставим в общую формулу три различных целых значения для $ k $.

• При $ k = 0 $, получаем: $ x = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi $.
• При $ k = 1 $, получаем: $ x = \pi + 2\pi \cdot 1 = 3\pi $.
• При $ k = -1 $, получаем: $ x = \pi + 2\pi \cdot (-1) = \pi - 2\pi = -\pi $.

Выберем эти три значения.

Ответ: $ \pi, 3\pi, -\pi $.