Номер 15.3, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.3. Известно, что $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Найдите и сравните значения выражений:

1) $\sin 2\alpha$ и $2\sin \alpha$;

2) $\cos 3\alpha$ и $3\cos \alpha$.

1) sin 2α и 2sin α

Дано значение $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Подставим его в оба выражения, чтобы найти их значения.

Сначала вычислим значение выражения $\sin(2\alpha)$:
$\sin(2\alpha) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{2\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $\sin(2\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим значение выражения $2\sin(\alpha)$:
$2\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\pi}{6})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.
$2\sin(\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Осталось сравнить полученные значения: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $1$.
Для сравнения дроби $\frac{\sqrt{3}}{2}$ с единицей, сравним числитель $\sqrt{3}$ со знаменателем $2$.
Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$.
Поскольку $3 < 4$, то и $\sqrt{3} < 2$. Разделив обе части неравенства на положительное число 2, получаем $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$.
Следовательно, $\sin(2\alpha) < 2\sin(\alpha)$.

Ответ: $\sin(2\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $2\sin(\alpha) = 1$; $\sin(2\alpha) < 2\sin(\alpha)$.

2) cos 3α и 3cos α

Аналогично первому пункту, подставим значение $\alpha = \frac{\pi}{6}$ в оба выражения.

Вычислим значение выражения $\cos(3\alpha)$:
$\cos(3\alpha) = \cos(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{3\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2})$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{2}$ равно $0$.
Таким образом, $\cos(3\alpha) = 0$.

Теперь вычислим значение выражения $3\cos(\alpha)$:
$3\cos(\alpha) = 3\cos(\frac{\pi}{6})$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$3\cos(\alpha) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Сравним полученные значения: $0$ и $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку $\sqrt{3}$ — положительное число, то и произведение $3\sqrt{3}$ тоже положительно, как и дробь $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Любое положительное число больше нуля, поэтому $\frac{3\sqrt{3}}{2} > 0$.
Следовательно, $\cos(3\alpha) < 3\cos(\alpha)$.

Ответ: $\cos(3\alpha) = 0$, $3\cos(\alpha) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$; $\cos(3\alpha) < 3\cos(\alpha)$.